Движущийся велосипед фотографируют с относительно большой выдержкой неподвижной камерой. В результате велосипед на фотографии выходит смазанным; однако некоторые точки некоторых спиц получаются резкими. Определите форму кривой, на которой лежат резкие точки спиц.
▶РешениеСкрыть
Заметим, что точка на спице покажется неподвижной (т. е. резкой), если её скорость направлена вдоль спицы (или параллельно ей).
Пусть горизонтальная скорость велосипеда равна \(\vec v\), причём \(|\vec v| = \omega R\).
Поскольку тангенциальная скорость перпендикулярна радиус-вектору, нам нужно \(\omega r = |\vec v|\cos\theta = \omega R\cos\theta\), т. е. \(r = R\cos\theta\).
Обозначив центр колеса как \((0,0)\), можно определить, что множество точек задаётся параметрическим уравнением \[x = -R\cos\theta\sin\theta,\qquad y = -R\cos^2\theta.\] Заметим, что \[x^2+(y+R/2)^2 = R^2\cos^2\theta\sin^2\theta+R^2\cos^4\theta -R^2\cos^2\theta+\frac{R^2}4 = \frac{R^2}4.\] Поскольку \(x^2+(y+R/2)^2 = \bigl(\frac R2\bigr)^2\), множество точек на спицах, кажущихся резкими, описывается \(\boxed{\text{окружностью радиуса }\frac R2\text{ с центром на }\frac R2 \text{ ниже центра колеса}}\).