На фотографии изображена струя воды на фоне сетки. Шаг сетки равен диаметру
струи на выходе из горизонтальной трубы. Расход воды постоянен во времени, и если для
сбора вытекающей воды используется сосуд объёмом \(V = 150\) см\(^3\), он наполняется за
время \(t = 5\) мин. Найдите диаметр струи на выходе из трубы.
▶РешениеСкрыть
Пусть расстояние между вспомогательными линиями сетки равно \(d\). Заметим, что \(d\) — это также (приближённо) диаметр струи воды.
Можно использовать точки \((0,0)\), \((20d,-5{,}5d)\) и \((30d,-12{,}5d)\), чтобы найти уравнение траектории воды, которое оказывается таким: \[y = -\frac{0{,}014}dx^2.\] Траектория воды задаётся также параметрическим уравнением \(x = vt\), \(y = -\frac g2t^2\), что даёт \(y = -\frac g{2v^2}x^2\). Значит, имеем \[\frac{0{,}014}d = \frac g{2v^2}\ \Longrightarrow\ v = \sqrt{\frac{gd}{0{,}028}}.\] Поскольку расход из трубы должен быть равен скорости наполнения сосуда, \[\frac{\pi d^2v}4 = \frac{\pi d^2\sqrt{\frac{gd}{0{,}028}}}4 = \frac Vt.\] Это уравнение даёт \[\boxed{d = \Bigl(\frac{4V}{\pi t}\sqrt{\frac{0{,}028}g}\Bigr)^{2/5} = 1{,}03\text{ мм}}.\]