Как хорошо известно, телескоп позволяет увидеть звёзды днём. Изучим эту задачу подробнее. Рассмотрим упрощённую модель глаза: одна линза с фокусным расстоянием \(f = 4\) см и диаметром \(d = 3\) мм, создающая изображение на экране (сетчатке). Модель телескопа аналогична: линза с фокусным расстоянием \(F = 2\) м и диаметром \(D = 20\) см, создающая изображение в фокальной плоскости (куда можно поместить, например, фотоплёнку). В расчётах можно использовать следующие величины: плотность световой энергии, излучаемой единицей солнечной поверхности в единицу времени, \(w_0\) (поверхностная плотность мощности света); отношение расстояний до звезды и до Солнца \(q = 4 \cdot 10^5\) (мы считаем, что звезда идентична Солнцу); угловой диаметр Солнца \(\phi \approx 9\) мрад. Замечание: если ответ содержит \(w_0\), то численный ответ не требуется.
▶ОтветСкрыть
Ответ. (i) Плотность светового потока убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, поэтому \(w_1 = w_0 R_p^2/L_p^2\), где \(R_p\) — солнечный радиус, а \(L_p\) — расстояние до Солнца. Из \(\phi = 2R_p/L_p\) получаем \(w_1 = w_0\phi^2/4\).
(ii) Предыдущий результат можно применить к плотности потока от звезды, которая равна \(q^{-2}w_1\); следовательно, \(P_2 = \frac{1}{4}\pi D^2 w_1 q^{-2} = w_0\pi(\phi D/4q)^2\).
(iii) Участок поверхности бумаги площадью \(S\) излучает в сторону линзы телескопа мощность \(P_3 = w_1\alpha S(\frac{\pi}{4}D^2/L^2)\), где \(L\) — расстояние до телескопа. Изображение этого куска бумаги имеет размер \(s = SF^2/L^2\); таким образом, \(w_3 = P_3/s = w_1\alpha(\frac{\pi}{4}D^2/F^2) = w_0\alpha\pi(\phi D/4F)^2\).
(iv) Угловое расстояние до первого дифракционного минимума (в приближении одной щели — круг на самом деле не щель) равно \(\lambda/D\). Следовательно, радиус светлого кружка можно оценить как \(\delta = F\lambda/D\). Значит, \(w_2 = P_2/\pi\delta^2 = w_0(\phi D^2/4qF\lambda)^2\).
(v) \(k = (w_2 + w_3)/w_3 = 1 + (\alpha\pi)^{-1}(D/\lambda q)^2 \approx 4\) (в предположении \(\lambda \approx 500\) нм).
(vi) \(k - 1 \sim 1\) (или \(k - 1 > 1\)) означает, что звезду легко увидеть (как в случае телескопа); \(k - 1 \ll 1\) означает, что звезду увидеть нельзя (для глаза \(k - 1 \approx 1 \cdot 10^{-4}\)).