[IPhO-1981] Детектор радиоволн в радиоастрономической обсерватории расположен на морском берегу на высоте \(h = 2\) м над уровнем моря. После восхода звезды, излучающей электромагнитные волны с длиной волны \(\lambda = 21\) см, над горизонтом детектор регистрирует серию чередующихся максимумов и минимумов. Регистрируемый сигнал пропорционален интенсивности принимаемых волн. Детектор регистрирует волны, электрический вектор которых колеблется в направлении, параллельном поверхности моря.
▶ОтветСкрыть
Ответ. (i) Сигнал, регистрируемый детектором \(A\), — результат интерференции двух лучей: луча 1, падающего непосредственно от звезды, и луча 2, отражённого от поверхности моря (см. рисунок)
Фаза второго луча сдвинута на \(\pi\) из-за отражения от среды с большим показателем преломления. Следовательно, разность фаз двух лучей равна: \[\Delta = AC + \frac{\lambda}{2} - AB = \frac{h}{\sin\alpha} + \frac{\lambda}{2} - \frac{h}{\sin\alpha}\cos(2\alpha) =\] \[= \frac{\lambda}{2} + \frac{h}{\sin\alpha}[1 - \cos(2\alpha)] = \frac{\lambda}{2} + 2h\sin\alpha\] Условие интерференционного максимума имеет вид: \[\frac{\lambda}{2} + 2h\sin\alpha_{\max} = k\lambda \quad \text{или} \quad \sin\alpha_{\max} = \left(k - \frac{1}{2}\right)\frac{\lambda}{2h} = (2k - 1)\frac{\lambda}{4h}\] где \(k = 1, 2, 3, …, 19\) (разность оптических путей не может превышать \(2h\), поэтому \(k\) не может превышать 19).
Условие интерференционного минимума имеет вид: \[\frac{\lambda}{2} + 2h\sin\alpha_{\max} = (2k + 1)\frac{\lambda}{2} \Rightarrow \sin\alpha_{\max} = \frac{k\lambda}{2h}\] где \(k = 1, 2, 3, …, 19\).
(ii) Сразу после восхода звезды угловая высота \(\alpha\) равна нулю, поэтому выполняется условие интерференционного минимума. По этой причине сразу после восхода звезды сигнал будет расти.
(iii) Если выполнено условие интерференционного максимума, то напряжённость электрического поля равна сумме напряжённостей прямого луча \(E_i\) и отражённого луча \(E_r\) соответственно: \(E_{\max} = E_i + E_r\). Поскольку \[E_r = E_i\frac{n - \cos\varphi}{n + \cos\varphi},\] то \[E_{\max} = E_i\left(1 + \frac{n - \cos\varphi}{n + \cos\varphi}\right),\] Из рисунка видно, что \(\varphi_{\max} = \frac{\pi}{2} - \alpha_{\max}\), и мы получаем \[E_{\max} = E_i\left(1 + \frac{n - \sin\alpha_{\max}}{n + \sin\alpha_{\max}}\right) = E_i\frac{2n}{n + \sin\alpha_{\max}}. \tag{1}\] В интерференционном минимуме результирующая интенсивность равна: \[E_{\min} = E_i - E_r = E_i\frac{2\sin\alpha_{\min}}{n + \sin\alpha_{\min}}. \tag{2}\] Интенсивность сигнала \(I\) пропорциональна квадрату напряжённости электрического поля \(E\), поэтому отношение интенсивностей последовательных максимумов и минимумов равно: \[\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{E_{\max}}{E_{\min}}\right)^2 = \frac{n^2}{\sin^2\alpha_{\min}}\frac{(n + \sin\alpha_{\min})^2}{(n + \sin\alpha_{\max})^2}. \tag{3}\] Пользуясь уравнениями (2) и (3), уравнение (3) можно преобразовать к следующему виду: \[\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{4n^2h^2}{k^2\lambda^2}\left[\frac{n + k\frac{\lambda}{2h}}{n + (2k - 1)\frac{\lambda}{4h}}\right]^2.\] Пользуясь этой общей формулой, можно определить отношение для первого максимума (\(k = 1\)) и следующего минимума: \[\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{4n^2h^2}{\lambda^2}\left[\frac{n + \frac{\lambda}{2h}}{n + \frac{\lambda}{4h}}\right]^2 = 3 \cdot 10^4\]
(iv) Пользуясь тем, что \(n \gg \lambda\), из уравнения двумя строками выше получаем: \[\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{4n^2h^2}{k^2\lambda^2}.\] Итак, с восходом звезды отношение интенсивностей последовательных максимумов и минимумов уменьшается.