[IPhO-1990] Мы хотим изучить дифракцию рентгеновских лучей на кубической кристаллической решётке (см. рисунок a). Для этого начнём с дифракции плоской монохроматической волны, падающей перпендикулярно на двумерную решётку, состоящую из \(N_1 \times N_2\) щелей с расстояниями \(d_1\) и \(d_2\). Дифракционная картина наблюдается на экране на расстоянии \(L\) от решётки. Экран параллелен решётке, и \(L\) намного больше \(d_1\) и \(d_2\).
▶ОтветСкрыть
Ответ. Рассмотрим сначала направление \(x\). Если волны, приходящие от соседних щелей (с расстоянием \(d_1\)), проходят пути, отличающиеся на \[\Delta_1 = n_1\lambda\] где \(n_1\) — целое число, то возникает главный максимум. Его положение на экране (в направлении \(x\)) равно: \[x_{n_1} = \frac{n_1\lambda L}{d_1}\] поскольку \(d_1 \ll d_2\). Разность путей между средней щелью и одной из крайних щелей тогда равна: \[\Delta_{\left(\frac{N_1}{2}\right)} = \frac{N_1}{2}n_1\lambda\] Если же, с другой стороны, эта разность путей равна: \[\Delta_{\left(\frac{N_1}{2}\right)} = \frac{N_1}{2}n_1\lambda + \frac{\lambda}{2}\] то возникает первый минимум, соседний с главным максимумом. Положение этого минимума на экране даётся выражением: \[x_{n_1} + \Delta x = \frac{\left(\frac{N_1}{2}n_1\lambda + \frac{\lambda}{2}\right)L}{\frac{N_1}{2}d_1} = \frac{n_1\lambda L}{d_1} + \frac{\lambda L}{N_1 d_1}\] \[\to \quad \Delta x = \frac{\lambda L}{N_1 d_1}\] Ширина главного максимума соответственно равна: \[2\Delta x = 2\frac{\lambda L}{N_1 d_1}\] Аналогично можно рассмотреть направление \(y\), в котором имеется \(N_2\) щелей с расстоянием \(d_2\). Положения и ширины главных максимумов равны: \[(x_{n_1}, y_{n_2}) = \left(\frac{n_1\lambda L}{d_1}, \frac{n_2\lambda L}{d_2}\right)\] \[2\Delta x = 2\frac{\lambda L}{N_1 d_1}; \qquad 2\Delta y = 2\frac{\lambda L}{N_2 d_2}\] Альтернативный метод решения — вычислить интенсивность для двумерной решётки как функцию угла, который пучок составляет с экраном.
В направлении \(x\) пучок «видит» решётку с шагом \(a\), так что в этом направлении получаем: \[x_{n_1} = \frac{n_1\lambda L}{a} \qquad \Delta x = 2\frac{\lambda L}{N_0 a}\] В направлении \(y\) пучок «видит» решётку с эффективным шагом \(a\cos(\theta)\). Аналогично получаем: \[y_{n_2} = \frac{n_2\lambda L}{a\cos(\theta)} \qquad \Delta y = 2\frac{\lambda L}{N_0 a\cos(\theta)}\] В направлении \(z\) пучок «видит» решётку с эффективным шагом \(a\sin(\theta)\). Это приводит к главным максимумам с положением и шириной: \[y'_{n_3} = \frac{n_3\lambda L}{a\sin(\theta)} \qquad \Delta y' = 2\frac{\lambda L}{N_1 a\sin(\theta)}\] Эта картина накладывается на предыдущую. Поскольку \(\sin(\theta)\) очень мал, будет видна только картина нулевого порядка, и она очень широкая, поскольку \(N_1\sin(\theta) \ll N_0\). Дифракционная картина от плоской волны, падающей на тонкую пластинку кубического кристалла под малым углом падения к нормали, будет почти такой же, как от двумерной решётки.
При брэгговском отражении разность путей для конструктивной интерференции между соседними плоскостями: \[\Delta = 2a\sin(\phi) \approx 2a\phi = n\lambda \to \frac{x}{L} \approx 2\phi \approx \frac{n\lambda}{a} \to x \approx \frac{n\lambda L}{a}\] Здесь \(\phi\) — угол дифракции. Это то же условие максимума, что и в пункте b.
Для расстояния \(\sqrt{2}a\) между соседними ионами K получаем: \[\operatorname{tg}(2\phi) = \frac{x}{L} = \frac{0{,}053}{0{,}1} \approx 0{,}53 \to a = \frac{\lambda}{2\sin(\phi)} \approx \frac{0{,}15 \cdot 10^{-9}}{2 \cdot 0{,}24} \approx 0{,}31\,\text{нм}\] \[K - K \approx \sqrt{2} \cdot 0{,}31 \approx 0{,}44\,\text{нм}\]