зад 1 Натяжение каната при подъёме груза
Груз поднимают с некоторым ускорением, направленным вертикально вверх, прикладывая силу \(F = 24\) Н к привязанному к грузу массивному однородному канату. Масса груза в 2 раза больше массы каната. Найдите силу натяжения каната в его середине.
▶ПодсказкаСкрыть
Рассмотрите систему «груз и канат» целиком, затем её нижнюю половину вместе с грузом.
▶ОтветСкрыть
\(T = \dfrac{5}{6}F = 20\) Н.
▶РешениеСкрыть
Для груза с канатом: \(F - 3mg = 3ma\).
Для груза с нижней половиной каната: \(T - \left(2m + \dfrac{m}{2}\right)g = \left(2m + \dfrac{m}{2}\right)a\). Отсюда \(T = \dfrac{5}{6}F = 20\) Н.
зад 2 Деревянный брусок на полке в ускоренном сосуде
В сосуде с водой закреплена полка, наклонённая к горизонту под углом \(\alpha\) (\(\sin\alpha = 3/5\)). На поверхности полки удерживается тележка с закреплённым на ней деревянным бруском с помощью нити, натянутой под углом \(\alpha\) к горизонту (см. рис.). Объём бруска \(V\), плотность воды \(\rho\), плотность дерева \(0{,}7\rho\).
Найдите силу натяжения нити при неподвижном сосуде.
Найдите силу натяжения нити при движении сосуда с горизонтальным ускорением \(a = g/6\).
В обоих случаях брусок находится полностью в воде. Объёмами и массами тележки и колёс и трением в их осях пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Архимедова сила в ускоренном сосуде имеет вертикальную и горизонтальную составляющие; спроецируйте уравнения на направление полки.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_1 = \dfrac{9}{50}\rho Vg\); 2) \(T_2 = \dfrac{7}{50}\rho Vg\).
▶РешениеСкрыть
1) При неподвижном сосуде \(T_1 = \dfrac{9}{50}\rho Vg\).
2) Вертикальная и горизонтальная составляющие силы Архимеда: \(F_{A1} = \rho Vg\), \(F_{A2} = \rho Va\). Уравнение движения бруска в проекциях на направление полки: \(T_2 + 0{,}7\rho Vg\sin\alpha - F_{A1}\sin\alpha + F_{A2}\cos\alpha = 0{,}7\rho Va\cos\alpha\), откуда \(T_2 = \left(g\sin\alpha - a\cos\alpha\right)\cdot 0{,}3\rho V = \dfrac{7}{50}\rho Vg\).
Замечание официального решения: без учёта \(F_{A2}\) получается типичный неверный ответ \(T_{2НЕВ} = \dfrac{41}{150}\rho Vg\).
зад 3 Газовый термометр: длина трубки
В тонкостенную колбу впаяна длинная тонкая стеклянная трубка постоянного внутреннего сечения (см. рис.). В трубке находится капелька ртути, отделяющая воздух в колбе от окружающего воздуха. Изменение температуры окружающего воздуха при постоянном атмосферном давлении приводит к смещению капельки — получаем газовый термометр. При температуре \(t_1 = 17\,^\circ\)C капелька находится на расстоянии \(L_1 = 20\) см от колбы, а при температуре \(t_2 = 27\,^\circ\)C — на расстоянии \(L_2 = 30\) см. Чему равна длина трубки, если максимальная температура, которую можно измерить этим термометром, \(t_3 = 47\,^\circ\)C? Атмосферное давление считать неизменным.
▶ПодсказкаСкрыть
Объём воздуха в термометре пропорционален \(V_0 + LS\); при постоянном давлении \(V_0 + LS \propto T\). Запишите это для трёх температур.
▶ОтветСкрыть
\(L_3 = 50\) см.
▶РешениеСкрыть
Уравнения состояния для трёх опытов: \(P(V_0 + L_1S) = \nu RT_1\), \(P(V_0 + L_2S) = \nu RT_2\), \(P(V_0 + L_3S) = \nu RT_3\). Отсюда \(L_3 = L_1 + \dfrac{T_3 - T_1}{T_2 - T_1}(L_2 - L_1) = 20 + \dfrac{320 - 290}{300 - 290}\cdot 10 = 50\) см.
зад 4 Гелий и азот в цилиндре с поршнем
Поршень, который может двигаться в горизонтальном цилиндре без трения, делит его объём на две части. В одной части находится \(m_1 = 1\) г гелия, а в другой — \(m_2 = 14\) г азота. Температуры газов одинаковые. Какую часть объёма цилиндра занимает гелий? Молярные массы гелия и азота \(\mu_1 = 4\) г/моль, \(\mu_2 = 28\) г/моль.
▶ПодсказкаСкрыть
Давления газов по обе стороны поршня одинаковы; запишите уравнения состояния для каждой части.
▶ОтветСкрыть
\(x = \dfrac{1}{3}\).
▶РешениеСкрыть
\(PV_1 = \dfrac{m_1}{\mu_1}RT\), \(PV_2 = \dfrac{m_2}{\mu_2}RT\). Отсюда \(\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{m_1\mu_2}{m_2\mu_1} = \dfrac{1\cdot 28}{14\cdot 4} = \dfrac{1}{2}\), и доля объёма, занятая гелием, \(x = \dfrac{V_1}{V_1 + V_2} = \dfrac{1}{3}\).
зад 5 Разлёт заряженных шариков на нитях
В вершинах равнобедренного треугольника со сторонами \(2a\), \(2a\), \(3a\) находятся неподвижно три небольших по размерам положительно заряженных шарика, связанных попарно тремя легкими непроводящими нитями. Каждый из шариков, связанных длинной нитью, имеет массу \(m\) и заряд \(q\). Третий шарик имеет массу \(6m\) и заряд \(6q\). Две нити одинаковой длины одновременно пережигают, и шарики разлетаются. В момент, когда шарики оказались в вершинах равнобедренного треугольника со сторонами \(4a\), \(4a\), \(3a\), скорость шарика массой \(6m\) оказалась \(v\).
Найдите в этот момент скорость связанных шариков.
Найдите \(q\), считая известными \(m\), \(v\), \(a\).
▶ОтветСкрыть
1) \(u = 3v\); 2) \(q = 4\sqrt{\pi\varepsilon_0 mv^2a}\).
▶РешениеСкрыть
По закону сохранения импульса \(6mv = 2mu\), откуда \(u = 3v\).
По закону сохранения энергии \(\dfrac{kq^2}{3a} + 2k\dfrac{(6q)q}{2a} = \dfrac{kq^2}{3a} + 2k\dfrac{(6q)q}{4a} + \dfrac{2mu^2}{2} + \dfrac{6mv^2}{2}\), откуда \(q^2 = \dfrac{4mv^2a}{k}\) и \(q = 4\sqrt{\pi\varepsilon_0 mv^2a}\).
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2014/15, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.