зад 1 Бруски на пружинах и нить
Бруски с массами \(m\), \(2m\), \(3m\) и \(4m\), соединённые лёгкими пружинами и нитью (см. рис.), удерживаются неподвижно с помощью упора на гладкой наклонной поверхности с углом наклона к горизонту \(\alpha\) (\(\sin\alpha = 1/3\)).
Найти силу натяжения нити.
Найти ускорение (направление и модуль) бруска с массой \(3m\) сразу после пережигания нити.
▶ПодсказкаСкрыть
Пружины в первый момент не меняют свою деформацию, поэтому силы упругости сохраняются. Какие силы действуют на брусок \(3m\) сразу после пережигания нити?
▶ОтветСкрыть
1) \(T = mg\); 2) \(a = \dfrac{g}{3}\), вверх вдоль наклонной поверхности.
▶РешениеСкрыть
1) \(T = \left(2m + m\right)g\sin\alpha = mg\).
2) \(a = \dfrac{\left(3m + 2m + m\right)g\sin\alpha - 3mg\sin\alpha}{3m} = \dfrac{g}{3}\), вверх вдоль наклонной поверхности.
зад 2 Шарик на двух нитях
Небольшой по размерам шарик массой \(m\) движется по окружности в горизонтальной плоскости, находясь от вертикальной оси вращения на расстоянии \(R\). Шарик удерживается двумя нитями (см. рис.), составляющими с осью вращения углы \(\alpha\) (\(\cos\alpha = 4/5\)) и \(\beta\) (\(\cos\beta = 3/5\)). Сила натяжения верхней нити в 2 раза больше, чем нижней.
Найти силу натяжения нижней нити.
Найти угловую скорость вращения.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие равновесия шарика по вертикали и уравнение движения по горизонтали (центростремительное ускорение).
▶ОтветСкрыть
1) \(T = mg\); 2) \(\omega = \sqrt{\dfrac{2g}{R}}\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(T\) — сила натяжения нижней нити, тогда верхней \(2T\).
1) По вертикали \(2T\cos\alpha - T\cos\beta - mg = 0\), откуда \(T = mg\).
2) По горизонтали \(2T\sin\alpha + T\sin\beta = m\omega^2R\). Отсюда \(\omega = \sqrt{\dfrac{2g}{R}}\).
зад 3 Цикл: изобара, адиабата, изотерма
Газообразный гелий совершает цикл, состоящий из изобарического расширения 1–2, адиабатического процесса 2–3 и изотермического сжатия 3–1 (см. рис.). Отношение работы газа в адиабатическом процессе к работе над газом при его сжатии равно \(\beta\).
Найти отношение работы газа в процессе 1–2 к работе над газом при его сжатии.
Найти КПД цикла.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите работы и изменения внутренней энергии на каждом участке через \(A_{12}\) и \(A_{31}\), используя первое начало термодинамики и то, что на изотерме \(\Delta U = 0\).
▶ОтветСкрыть
1) \(\dfrac{2}{3}\beta\); 2) \(\eta = 1 - \dfrac{3}{5\beta}\).
▶РешениеСкрыть
На изобаре 1–2: \(U_2 - U_1 = \dfrac{3}{2}A_{12}\), \(Q_{12} = \dfrac{5}{2}A_{12}\). Для адиабаты 2–3: \(0 = U_1 - U_2 + A_{23}\). Далее \(A = A_{12} + A_{23} + A_{31}\), \(\eta = \dfrac{A}{Q_{12}}\), \(\dfrac{A_{23}}{-A_{31}} = \beta\), \(x = \dfrac{A_{12}}{-A_{31}}\).
Отсюда находим ответы. 1) \(x = \dfrac{2}{3}\beta\). 2) \(\eta = 1 - \dfrac{3}{5\beta}\).
зад 4 Вода в U-образной трубке при ускорении
Тонкая U-образная трубка постоянного внутреннего сечения с горизонтальным коленом длиной \(L\) и двумя одинаковыми вертикальными коленами, открытыми в атмосферу, заполнена водой не полностью (см. рис.). В каждом вертикальном колене остаётся слой воздуха. Вода начинает выливаться, если трубку двигать вдоль горизонтального колена с постоянным ускорением, не меньшим, чем \(a_0 = g/10\).
Найти длину \(H\) слоя воздуха в одном вертикальном колене, когда трубка покоится.
Найти длину вылившегося слоя воды при движении с ускорением \(a_1 = g/8\).
▶ПодсказкаСкрыть
Разность давлений в местах изгиба трубки создаёт ускорение столбика воды длиной \(L\). Подумайте, как меняется эта разность при добавлении \(g\) к ускорению трубки.
▶ОтветСкрыть
1) \(H = \dfrac{L}{20}\); 2) \(l = \dfrac{L}{40}\).
▶РешениеСкрыть
1) При движении с ускорением \(a_0\) разность давлений в местах изгиба трубки \(\rho g\cdot 2H\). Для столбика длиной \(L\) по второму закону Ньютона \(\rho g\cdot 2H\,S = \rho LSa_0\), \(a_0 = g/10\). Отсюда \(H = \dfrac{L}{20}\).
2) При движении с ускорением \(a_1\) разность давлений в местах изгиба трубки \(\rho g(2H + l)\). Для столбика длиной \(L\) по второму закону Ньютона \(\rho g(2H + l)S = \rho LSa_1\), \(a_1 = g/8\), \(H = \dfrac{L}{20}\). Отсюда находим, что выльется слой длиной \(l = \dfrac{L}{40}\).
зад 5 Нагрев с теплоёмкостью C(T)
Газообразный гелий нагревается (непрерывно повышается температура) от температуры \(T_0\) в процессе, в котором молярная теплоёмкость газа зависит от температуры \(T\) по закону \(C = R\,\dfrac{T}{T_0}\).
Найти температуру \(T_1\), при нагревании до которой газ совершил работу, равную нулю.
Найти температуру \(T_2\), при достижении которой газ занимал минимальный объём в процессе нагревания.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите первое начало термодинамики через \(\Delta A = \nu(C - C_V)\Delta T\) и проинтегрируйте. Минимум объёма соответствует моменту, когда работа на малом участке обращается в ноль.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_1 = 2T_0\); 2) \(T_2 = \dfrac{3}{2}T_0\).
▶РешениеСкрыть
Из первого начала \(\nu C\,\Delta T = \nu C_V\Delta T + \Delta A\), т.е. \(\nu(C - C_V)\Delta T = \Delta A\).
1) \(\nu R\dfrac{T}{T_0}\Delta T = \dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T + \Delta A\). Суммируя по участкам, \(\nu R\dfrac{1}{T_0}\cdot\dfrac{1}{2}\left(T_1^2 - T_0^2\right) = \dfrac{3}{2}\nu R\left(T_1 - T_0\right) + \sum\Delta A\). Так как \(\sum\Delta A = 0\), то \(T_1 = 2T_0\).
2) При минимальном объёме \(\Delta A = 0\) и \(\nu\left(C - C_V\right)\Delta T = 0\), т.е. \(C = C_V = \dfrac{3}{2}R\). Имеем \(R\dfrac{T_2}{T_0} = \dfrac{3}{2}R\). Отсюда \(T_2 = \dfrac{3}{2}T_0\).
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2015/16, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.