зад 1 Камень над забором
Камень, брошенный мальчиком с горизонтальной поверхности Земли под углом \(\alpha = 30^\circ\) к горизонту, через \(t_0 = 0{,}8\) с перелетает через забор с горизонтально направленной скоростью, почти касаясь забора. Сопротивление воздуха не учитывать. Принять ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
Найти начальную скорость камня.
Найти высоту забора.
Найти расстояние от мальчика до забора.
▶ПодсказкаСкрыть
В момент пролёта над забором вертикальная составляющая скорости равна нулю.
▶ОтветСкрыть
1) \(V_0 = 16\) м/с; 2) \(H = 3{,}2\) м; 3) \(L = 6{,}4\sqrt{3}\) м \(\approx 11\) м.
▶РешениеСкрыть
1) \(V_0\sin\alpha = gt_0\), откуда \(V_0 = \dfrac{gt_0}{\sin\alpha} = 16\) м/с.
2) \(H = \dfrac{1}{2}gt_0^2 = 3{,}2\) м.
3) \(L = V_0\cos\alpha\cdot t_0 = \dfrac{gt_0^2}{\operatorname{tg}\alpha} = 6{,}4\sqrt{3}\) м \(\approx 11\) м.
зад 2 Цикл: изобара, адиабата, изотерма
Газообразный гелий совершает цикл, состоящий из изобарического расширения 1–2, адиабатического процесса 2–3 и изотермического сжатия 3–1 (см. рис.). Отношение работы газа в изобарическом процессе к работе над газом при его сжатии равно \(\alpha\).
Найти отношение работы газа в процессе 2–3 к работе над газом при его сжатии.
Найти КПД цикла.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите работы и изменения внутренней энергии на каждом участке через \(A_{12}\) и \(A_{31}\), используя первое начало термодинамики и то, что на изотерме \(\Delta U = 0\).
▶ОтветСкрыть
1) \(\dfrac{3}{2}\alpha\); 2) \(\eta = 1 - \dfrac{2}{5\alpha}\).
▶РешениеСкрыть
На изобаре 1–2: \(U_2 - U_1 = \dfrac{3}{2}A_{12}\), \(Q_{12} = \dfrac{5}{2}A_{12}\). Для адиабаты 2–3: \(0 = U_1 - U_2 + A_{23}\). Далее \(A = A_{12} + A_{23} + A_{31}\), \(\eta = \dfrac{A}{Q_{12}}\), \(\dfrac{A_{12}}{-A_{31}} = \alpha\), \(x = \dfrac{A_{23}}{-A_{31}}\).
Отсюда находим ответы. 1) \(x = \dfrac{3}{2}\alpha\). 2) \(\eta = 1 - \dfrac{2}{5\alpha}\).
зад 3 Вращающаяся трубка с жидкостью
Тонкая трубка запаяна с одного конца, заполнена жидкостью плотностью \(\rho\) и закреплена на горизонтальной платформе (см. рис.). Открытое колено трубки вертикально и заполнено жидкостью до высоты \(H\). Платформа вращается с угловой скоростью \(\omega\) вокруг вертикальной оси. Вертикальное колено находится на расстоянии \(R\), а конец горизонтального — на расстоянии \(7R\) от оси вращения. Атмосферное давление \(P_0\).
Найти давление жидкости в месте изгиба трубки.
Найти давление жидкости в горизонтальном колене на расстоянии \(4R\) от оси вращения.
▶ПодсказкаСкрыть
В месте изгиба давление складывается из атмосферного и гидростатического. В горизонтальном колене давление растёт с расстоянием от оси из-за центробежного ускорения.
▶ОтветСкрыть
1) \(P_1 = P_0 + \rho gH\); 2) \(P_2 = P_0 + \rho\left(gH + 7{,}5\,\omega^2R^2\right)\).
▶РешениеСкрыть
1) \(P_1 = P_0 + \rho gH\).
2) По второму закону Ньютона для столбика длиной \(3R\) (от \(R\) до \(4R\)): \(P_2S - P_1S = \rho\cdot 3RS\,a_C\), где \(a_C = 2{,}5\,\omega^2R\) — ускорение центра масс столбика. Отсюда \(P_2 = P_0 + \rho\left(gH + 7{,}5\,\omega^2R^2\right)\).
зад 4 Силы натяжения нити маятника
Маленький шарик массой \(m\) подвешен на нити и колеблется в вертикальной плоскости с угловой амплитудой \(\varphi_0 = \arccos 0{,}8\).
Найти минимальную силу натяжения нити при колебаниях.
Найти максимальную силу натяжения нити при колебаниях.
Найти касательное ускорение шарика в момент, когда сила натяжения нити в \(1{,}5\) раза больше её минимального значения.
▶ПодсказкаСкрыть
Минимальное натяжение достигается в крайнем положении, максимальное — в нижней точке. Для энергии используйте закон сохранения механической энергии.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_{\min} = 0{,}8\,mg\); 2) \(T_{\max} = 1{,}4\,mg\); 3) \(a_\tau = \dfrac{\sqrt{29}}{15}\,g\).
▶РешениеСкрыть
1) \(T_1 = mg\cos\varphi_0 = 0{,}8\,mg\).
2) \(T_2 - mg = \dfrac{mV_2^2}{R}\), \(\dfrac{mV_2^2}{2} = mg\left(R - R\cos\varphi_0\right)\). Отсюда \(T_2 = 1{,}4\,mg\).
3) \(T_3 = 1{,}5T_1 = 1{,}2\,mg\), \(ma_\tau = mg\sin\varphi\), \(T_3 - mg\cos\varphi = \dfrac{mV_3^2}{R}\), \(\dfrac{mV_3^2}{2} = mg\left(R\cos\varphi - R\cos\varphi_0\right)\). Получаем \(a_\tau = \dfrac{\sqrt{29}}{15}\,g\).
зад 5 Малые приращения параметров газа
Один моль гелия находится при температуре \(T = 273\) К. Далее газ сжимают так, что объём уменьшается на \(2\%\), а давление увеличивается на \(3\%\). Изменения параметров газа считать малыми.
Вычислите приращение \(\Delta T\) температуры газа.
Какую работу \(\Delta A\) совершил газ в процессе сжатия?
Найдите молярную теплоёмкость \(C\) газа в этом процессе.
▶ПодсказкаСкрыть
Прологарифмируйте уравнение состояния \(PV = \nu RT\) и запишите малые приращения. Для теплоёмкости используйте первое начало термодинамики с \(C_V = \dfrac{3}{2}R\).
▶ОтветСкрыть
1) \(\Delta T = 2{,}7\) К; 2) \(\Delta A \approx -45\) Дж; 3) \(C \approx -4{,}2\) Дж/(моль·К).
▶РешениеСкрыть
1) \(\dfrac{\Delta V}{V} + \dfrac{\Delta P}{P} = \dfrac{\Delta T}{T}\), откуда \(\Delta T = T\left(\dfrac{\Delta V}{V} + \dfrac{\Delta P}{P}\right) = 0{,}01\,T = 2{,}7\) К.
2) \(\Delta A = P\Delta V = \nu RT\dfrac{\Delta V}{V} \approx -45\) Дж.
3) \(\nu C\Delta T = \nu C_V\Delta T + \nu RT\dfrac{\Delta V}{V}\) (первое начало). Отсюда \[C = C_V + R\,\frac{\Delta V/V}{\Delta V/V + \Delta P/P} = \frac{3}{2}R - 2R = -\frac{1}{2}R \approx -4{,}2~\text{Дж/(моль·К)}.\] Непосредственный более точный расчёт даёт \(C \approx \dfrac{3}{2}R - 2{,}13R = -0{,}63R \approx -5{,}2\) Дж/(моль·К).
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2015/16, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.