зад 1 Брусок и доска с нитью через блок, сила на бруске
Систему из бруска массой \(m_1 = 2m\) и доски массой \(m_2 = m\), находящихся на горизонтальном столе, приводят в движение, прикладывая к бруску горизонтальную силу \(F\) (см. рис.). Коэффициент трения между столом и доской и между горизонтальной поверхностью доски и бруском равен \(\mu\). Массой горизонтально натянутой нити, массой блока и трением в его оси пренебречь.
Найти ускорение \(a_1\) доски, если бы не было трения.
Найти ускорение \(a_2\) доски, если есть трение и параметры \(F, m, \mu\) подобраны так, что есть движение.
▶ПодсказкаСкрыть
Если трения нет, брусок и доска движутся вместе. Какая внешняя сила сообщает ускорение всей системе?
▶ОтветСкрыть
1) \(a_1 = \dfrac{F}{3m}\); 2) \(a_2 = \dfrac{F-7\mu mg}{3m}\).
▶РешениеСкрыть
1) Без трения \(a_1 = \dfrac{F}{m_1+m_2} = \dfrac{F}{3m}\).
2) По второму закону Ньютона для доски: \(T - \mu(m_1+m_2)g - \mu m_1 g = m_2 a_2\); для бруска: \(F - \mu m_1 g - T = m_1 a_2\). Отсюда \[a_2 = \frac{F - \mu(3m_1+m_2)g}{m_1+m_2} = \frac{F-7\mu mg}{3m}.\]
зад 2 Колба плавает и тонет
Пустую стеклянную колбу массой \(m_0 = 750\) г и вместимостью \(V = 0{,}8\) л опускают в цилиндрический сосуд с водой. Стенки сосуда вертикальны. Колба стала плавать, а уровень воды в сосуде поднялся на некоторую высоту \(H_1\). Затем в колбу медленно наливают воду. Когда масса налитой воды достигает \(m = 250\) г, колба начинает тонуть. Уровень воды в сосуде за время наливания поднялся ещё на \(H_2\). Плотность воды \(\rho = 1\) г/см\(^3\). Площадь внутреннего сечения сосуда \(S = 250\) см\(^2\).
Найти \(H_1\).
Найти \(H_2\).
Найти плотность стекла колбы.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните вес колбы с силой Архимеда в двух состояниях: при плавании пустой колбы и в момент, когда колба полностью погружена и начинает тонуть.
▶ОтветСкрыть
1) \(H_1 = 3\) см; 2) \(H_2 = 1\) см; 3) \(\rho_0 = 3{,}75\) г/см\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(\rho_0\) — плотность стекла колбы.
1) \(m_0 g = \rho g H_1 S\), откуда \(H_1 = \dfrac{m_0}{\rho S} = 3\) см.
2) \(m g = \rho g H_2 S\), откуда \(H_2 = \dfrac{m}{\rho S} = 1\) см.
3) В момент начала тонения колба полностью погружена: \(\rho g \left(V + \dfrac{m_0}{\rho_0}\right) = (m_0 + m) g\), откуда \[\rho_0 = \frac{\rho m_0}{m_0 + m - \rho V} = 3{,}75~\text{г/см}^3.\]
зад 3 Опыт Штерна с серебряной нитью
Два коаксиальных цилиндра разного радиуса \(R_1 = 10\) см и \(R_2 = 20\) см помещены в вакуум. Вдоль образующей внутреннего цилиндра имеется узкая щель. Вдоль оси системы натянута платиновая проволочка, покрытая тонким слоем серебра. Если проволочку с помощью электротока раскалить, то образуется налёт в виде полосы на боковой поверхности внешнего цилиндра напротив щели. Цилиндры приводят во вращение вокруг их общей оси с угловой скоростью \(\omega = 2000\) с\(^{-1}\). В результате на боковой поверхности внешнего цилиндра образуется ещё одна полоса налёта, смещённая относительно первой на \(S = 8\) см (расстояние отсчитывается вдоль боковой поверхности). Относительную атомную массу серебра считать \(A = 100\).
Найти среднее время пролёта атомом промежутка между цилиндрами.
Найти среднюю скорость атомов серебра.
Найти температуру нити.
▶ПодсказкаСкрыть
За время пролёта атом смещается по окружности внешнего цилиндра на расстояние \(S\); при этом внешний цилиндр вращается, а скорость атомов связана с температурой через распределение Максвелла.
▶ОтветСкрыть
1) \(t = 0{,}2\) мс; 2) \(v = 500\) м/с; 3) \(T = 1000\) К.
▶РешениеСкрыть
1) За время пролёта \(t\) внешний цилиндр поворачивается так, что смещение \(S = \omega R_2 t\), откуда \(t = \dfrac{S}{\omega R_2} = 0{,}2\) мс.
2) Средняя скорость атомов \(v = \dfrac{R_2 - R_1}{t} = \dfrac{(R_2-R_1)\omega R_2}{S} = 500\) м/с.
3) Средняя кинетическая энергия поступательного движения атома: \(\dfrac{1}{2} m_0 v^2 = \dfrac{3}{2} kT\), откуда \[T = \frac{1}{3}\frac{m_0}{k}v^2 = \frac{1}{3}\frac{\mu}{R}v^2 = \frac{1}{3}\frac{\mu}{R}\left(\frac{(R_2-R_1)\omega R_2}{S}\right)^2 = 1000~\text{К},\] здесь \(\mu = 100\) г/моль.
зад 4 Смешение влажного воздуха из двух сосудов
Два сосуда соединены короткой трубкой с закрытым краном. В одном сосуде объёмом \(V_1 = 3\) л находится влажный воздух с относительной влажностью \(\varphi_1 = 50\%\) при температуре \(T\). В другом сосуде объёмом \(V_2 = 2\) л находится влажный воздух с относительной влажностью \(\varphi_2 = 75\%\) при той же температуре. Кран открывают, и влажный воздух в сосудах перемешивается. В сосудах устанавливается та же температура \(T\). Найти относительную влажность \(\varphi\) воздуха в сосудах.
▶ПодсказкаСкрыть
Общее количество водяного пара в сосудах равно сумме его количеств в каждом сосуде до открытия крана; давление насыщенного пара при температуре \(T\) одинаково для обоих.
▶ОтветСкрыть
\(\varphi = 60\%\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(P_H\) — давление насыщенного пара при температуре \(T\). Массы пара до смешения: \[m_1 = \frac{\mu}{RT}\varphi_1 P_H V_1, \qquad m_2 = \frac{\mu}{RT}\varphi_2 P_H V_2.\] После смешения \[m_1 + m_2 = \frac{\mu}{RT}\,\varphi\, P_H (V_1+V_2),\] откуда \[\varphi = \frac{\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2}{V_1 + V_2} = 0{,}6 = 60\%.\]
зад 5 Цикл: изобара, изохора, адиабата
Одноатомный идеальный газ расширяется в изобарическом процессе 1–2, затем охлаждается в изохорическом процессе 2–3 и сжимается в адиабатическом процессе 3–1 (см. рис.). Отношение работы газа \(A_{12}\) в процессе 1–2 к работе над газом \(A_{31}\) (\(A_{31}>0\)) в процессе 3–1 равно \(\dfrac{A_{12}}{A_{31}} = \dfrac{56}{9}\). В процессе расширения объём газа увеличивается в 8 раз.
Найти отношение температур \(T_1/T_3\) в состояниях 1 и 3.
Найти КПД цикла.
▶ПодсказкаСкрыть
В адиабатическом процессе \(Q=0\), поэтому работа равна изменению внутренней энергии со знаком минус. Выразите работы через температуры и сравните их отношение с заданным.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_1/T_3 = 4\); 2) \(\eta = \dfrac{47}{140}\).
▶РешениеСкрыть
1) ЗСЭ в процессе 3–1: \(0 = \nu C_V (T_1 - T_3) - A_{31}\). Работа в процессе 1–2: \(A_{12} = p_1(V_2 - V_1) = \nu R(T_2 - T_1)\). Из изобары \(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{V_2}{V_1} = 8\). Тогда \(\dfrac{A_{12}}{A_{31}} = \dfrac{56}{9}\) даёт \(T_1/T_3 = 4\).
2) Имеем \(T_1 = 4T_3\), \(T_2 = 8T_1 = 32T_3\). Для КПД, с учётом \(Q_{31}=0\) (адиабата): \[\eta = \frac{Q_{12}+Q_{23}+Q_{31}}{Q_{12}} = 1 + \frac{Q_{23}}{Q_{12}} = 1 + \frac{\nu C_V (T_3 - T_2)}{\nu C_P (T_2 - T_1)} = \frac{47}{140}.\]
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2017/18, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.