зад 1 Барабанный тормоз
На рисунке показаны две схемы расположения барабанного тормоза автомобиля. Принцип работы тормоза заключается в следующем. На оси колёс надеты цилиндрические барабаны, вращающиеся вместе с колёсами. К торцевым стенкам барабана (которые вместе с барабаном не вращаются) прикреплены две тормозные колодки А и В (в точках 1, 2, 3 и 4). При нажатии на педаль тормоза возрастает давление жидкости в тормозных цилиндрах С, колодки прижимаются к внутренней поверхности барабана и тормозят его благодаря трению. Какая система – показанная на левом или правом рисунке – тормозит более эффективно? Направление вращения барабана показано стрелкой. Ответ обосновать.
▶ПодсказкаСкрыть
Нарисуйте силы трения, которые колодки испытывают со стороны барабана, и определите моменты этих сил относительно точек крепления колодок. Что происходит с силой прижатия каждой колодки?
▶ОтветСкрыть
Правая система (правый барабан) тормозит эффективнее: силы трения заклинивают обе тормозные колодки.
▶РешениеСкрыть
При торможении на барабан со стороны колодок действуют силы трения, и (по третьему закону Ньютона) со стороны барабана на колодки действуют силы трения. Эти силы создают моменты, стремящиеся развернуть левую и правую колодки левого барабана по часовой стрелке. Для правого барабана одна колодка разворачивается по часовой стрелке, вторая – против.
Для левого барабана это приводит к увеличению силы реакции между барабаном и левой колодкой и к уменьшению силы реакции между барабаном и правой колодкой. Значит, сила трения между барабаном и левой колодкой возрастает, а между барабаном и правой – убывает. То есть для левой колодки возникает эффект заклинивания, для правой – нет.
При торможении правым барабаном (правый рисунок условия) силы трения заклинивают обе тормозные колодки. Значит, торможение правым барабаном более эффективно.
зад 2 Шахтный водосборник
В шахтный водосборник – резервуар для сбора шахтных вод перед их откачкой водоотливной установкой – равномерно поступает вода. Первоначально водосборник был пустой, а на откачку воды из камеры водосборника работал один насос. Насос не справлялся с водой, так что за \(t_1 = 6\) мин камера заполнилась наполовину. Тогда включили на второй (точно такой же) насос, но вода продолжала прибывать – ещё через \(t_2 = 15\) мин камера была заполнена полностью. За какое время камера опустеет, если в момент её полного заполнения включить третий (точно такой же) насос?
▶ОтветСкрыть
\(t_3 = 60\) мин.
▶РешениеСкрыть
Пусть в резервуар каждую секунду поступает масса воды \(m\), каждый насос откачивает в секунду массу воды \(\mu\), полная масса воды в резервуаре – \(M\). Для наполнения половины камеры при работе одного насоса \[m t_1 - \mu t_1 = \frac{M}{2}.\] Для заполнения второй половины камеры при работе двух насосов \[m t_2 - 2\mu t_2 = \frac{M}{2}.\] Решая систему относительно \(m\) и \(\mu\): \[m = \frac{M(2t_2 - t_1)}{2t_1t_2}, \qquad \mu = \frac{M(t_2 - t_1)}{2t_1t_2}.\] При работе трёх насосов камера опустеет за время \(t_3\), для которого \[3\mu t_3 - m t_3 = M \;\Rightarrow\; t_3 = \frac{M}{3\mu - m}.\] Подставляя \(m\) и \(\mu\): \[t_3 = \frac{2t_1t_2}{t_2 - 2t_1} = 60\text{ мин}.\]
зад 3 Сопротивление цепи
Найти сопротивление цепи. Сопротивления резисторов указаны на рисунке.
▶ПодсказкаСкрыть
Деформируйте провода, не меняя узлов: какие точки цепи соединены проводами без резисторов? Перерисуйте цепь так, чтобы видны были параллельные и последовательные участки.
▶ОтветСкрыть
\(R_{\text{общ}} = R\).
▶РешениеСкрыть
С помощью деформации проводов данная цепь преобразуется к следующей цепи.
Параллельно соединены \(R\) и \(R\), что даёт \(R/2\); \(3R\) и \(3R\) дают \(3R/2\). Эти участки соединены последовательно, их сумма равна \(2R\). Она параллельна резистору \(2R\), поэтому \[R_{\text{общ}} = \frac{2R \cdot 2R}{2R + 2R} = R .\]
зад 4 Рулон бумаги
В типографию завезли бумагу в рулоне. Во время работы типографии рулон разматывают и используют бумагу для печати газет. Через 40 дней работы оказалось, что радиус оставшейся части рулона составляет 2/3 от начального. На сколько дней работы хватит его оставшейся части? Считать, что типография работает с одинаковой интенсивностью, бумага намотана до самой оси рулона. Указание. Объём цилиндра, в основании которого лежит круг радиуса \(r\) и высота которого \(h\), определяется соотношением \(V = \pi r^2 h\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните объём оставшейся части рулона с объёмом бумаги, израсходованной за 40 дней, и учтите, что интенсивность работы постоянна.
▶ОтветСкрыть
32 дня.
▶РешениеСкрыть
Отношение числа дней работы на двух порциях бумаги равно отношению объёмов этих порций: \[\frac{n_{2/3}}{40} = \frac{V_{2/3}}{V_{1/3}},\] где \(n_{2/3}\) – число дней, на которые хватит остатка рулона, \(V_{2/3}\) – его объём, \(V_{1/3}\) – объём израсходованной за 40 дней бумаги. Пусть \(R\) – радиус неразмотанного рулона, \(h\) – его высота. Тогда \[V_{1/3} = \pi\left(R^2 - \left(\tfrac{2R}{3}\right)^2\right)h = \frac{5}{9}\pi R^2 h, \qquad V_{2/3} = \pi\left(\tfrac{2R}{3}\right)^2 h = \frac{4}{9}\pi R^2 h .\] Отсюда \(n_{2/3} = 40\cdot\dfrac{4}{5} = 32\) дня.
зад 5 Параллельные насосы
Важным параметром любого жидкостного насоса является его напорно-расходная характеристика, которая показывает, какой перепад давлений \(\Delta p\) (напор) может обеспечить насос в зависимости от количества жидкости \(\mu\), которое он может прокачать в единицу времени (расход). Эта зависимость, как правило, является убывающей функцией: при большом расходе насос может обеспечить только маленький напор и наоборот. Два насоса с напорно-расходными характеристиками \(\Delta p_1 = p_0 - \alpha\mu^2\) и \(\Delta p_2 = p_0 - \beta\mu\), где \(p_0\), \(\alpha\) и \(\beta\) – известные числа с соответствующими размерностями, включили в трубопровод так, как показано на рисунке (параллельно). Каким будет расход в системе насосов при напоре \(\Delta p = p_0/2\)? Какой напор обеспечит система насосов при расходе \(\mu_0\)? (\(\ominus\) – схематическое обозначение насоса.)
▶ОтветСкрыть
1) \(\mu = \sqrt{\dfrac{p_0}{2\alpha}} + \dfrac{p_0}{2\beta}\); 2) \(\Delta p = p_0 - \alpha\left(\dfrac{\sqrt{\beta^2 + 6\alpha\beta\mu_0} - \beta}{2\alpha}\right)^2\).
▶РешениеСкрыть
При параллельном соединении насосы работают при одном и том же напоре \(\Delta p\), а их расходы складываются. При напоре \(\Delta p = p_0/2\) расходы первого и второго насоса равны \(\mu_1 = \sqrt{p_0/(2\alpha)}\) и \(\mu_2 = p_0/(2\beta)\), откуда \[\mu\!\left(\tfrac{p_0}{2}\right) = \sqrt{\frac{p_0}{2\alpha}} + \frac{p_0}{2\beta}.\] При заданном расходе \(\mu_0\) расход распределяется так, чтобы напоры первого и второго насосов были одинаковы: \[\mu_0 = \mu_1 + \mu_2, \qquad p_0 - \alpha\mu_1^2 = p_0 - \beta\mu_2 .\] Отсюда \(\mu_1 = \dfrac{\sqrt{\beta^2 + 6\alpha\beta\mu_0} - \beta}{2\alpha}\) и \(\Delta p = p_0 - \alpha\mu_1^2\).
зад 6 Горячая труба в помещении
Через помещение, в котором поддерживается постоянная температура \(t = 15\,^\circ\text{C}\), проходит труба с горячей водой. Температура трубы в том месте, где она входит в помещение, равна \(t_1 = 75\,^\circ\text{C}\), в том месте, где выходит, – \(t_3 = 30\,^\circ\text{C}\). Чему равна температура посередине трубы? Считать, что теплообмен между тем или иным участком трубы и помещением пропорционален разности температур этого участка трубы и помещения.
▶ОтветСкрыть
\(t_2 = 45\,^\circ\text{C}\).
▶РешениеСкрыть
Пусть в единицу времени через сечение трубы протекает масса воды \(\Delta m\), а температура воды посередине трубы \(t_2\). Первая половина трубы теряет в единицу времени тепло \(c\,\Delta m\,(t_1 - t_2)\), которое уходит в помещение через боковые стенки. Поток тепла пропорционален разности температур выбранной точки трубы и помещения; коэффициент \(\eta\) одинаков для обеих половин. Возьмём в качестве такой точки начало каждой половины трубы: \[c\,\Delta m\,(t_1 - t_2) = \eta\,(t_1 - t), \qquad c\,\Delta m\,(t_2 - t_3) = \eta\,(t_2 - t).\] Деля уравнения друг на друга, получаем квадратное уравнение \[t_2^2 - 2t\,t_2 + t\,(t_1 + t_3) - t_1 t_3 = 0 ,\] откуда \[t_2 = t \pm \sqrt{(t_1 - t)(t_3 - t)} .\] Физический корень лежит между \(t_3\) и \(t_1\): \[t_2 = 15\,^\circ\text{C} + \sqrt{(75 - 15)(30 - 15)}\,^\circ\text{C} = 45\,^\circ\text{C}.\]
Источник: Инженерная олимпиада школьников, 2015/16, заключительный этап, 9-10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.