ИОШ, 2017/18, заключительный этап, 9-10 класс

Подсказка

Постройте ход лучей от каждого глаза школьника до его изображения в зеркале. Какие лучи проходят через место, где приклеена бумажка, и что при этом закрывает бумажка?

Ответ

Бумажка закроет изображение правого глаза: если закрыть правый глаз и открыть левый, то бумажка будет закрывать изображение закрытого правого глаза.

Решение

Построение хода лучей в зеркале (вид сверху) выполнено на рисунке. Пусть школьник (слева от зеркала; справа его изображение) закрыл левый глаз (ЛГ на рисунке). Поскольку его изображение находится в точке ЛГ\('\), то, чтобы не видеть правым глазом изображение закрытого левого глаза, он должен приклеить бумажку на зеркало так, как показано на рисунке. Но, как следует из этого рисунка, бумажка лежит и на пути луча, идущего от изображения правого глаза к левому глазу. Поэтому, если школьник закроет правый глаз и откроет левый (не меняя положения головы), то он увидит, что бумажка закрывает изображение закрытого правого глаза.

Подсказка

Сравните начальное и конечное состояния калориметров: вода в каждом из них в итоге та же, что была в начале. Из теплового баланса первого перекладывания найдите отношение теплоёмкостей тела и калориметра, а затем запишите баланс для второго перекладывания.

Ответ

\(t_y = 39{,}9\,^\circ\text{C}\).

Решение

Проще всего решить эту задачу, рассматривая сразу конечное состояние калориметров. С точки зрения содержимого они вернулись к первоначальному состоянию, но температура во втором калориметре уменьшилась от \(t_2\) до \(t_x\). Поэтому первый калориметр потерял энергию \(Q = C\,(t_2 - t_x)\), где \(C\) — теплоёмкость калориметра вместе с водой, но без тела. Поскольку по условию потерями тепла можно пренебречь, всю эту энергию получил первый калориметр. Поэтому уравнение теплового баланса для двух перекладываний тела (во второй калориметр, а потом назад) даёт \[C\,(t_2 - t_x) = (C + C_0)\,(t_y - t_1),\] где \(C_0\) — теплоёмкость тела, \(t_y\) — искомая температура первого калориметра после возвращения в него тела. Отсюда \[t_y = t_1 + \frac{t_2 - t_x}{1 + \dfrac{C_0}{C}}. \qquad (*)\] Отношение теплоёмкостей найдём из первого процесса установления равновесия. Для перекладывания тела из первого калориметра во второй получаем \[C\,(t_2 - t_x) = C_0\,(t_x - t_1) \quad\Rightarrow\quad \frac{C_0}{C} = \frac{t_2 - t_x}{t_x - t_1}.\] Подставляя эту формулу в (*), получим \[t_y = t_1 + \frac{(t_2 - t_x)(t_x - t_1)}{t_2 - t_1} = 39{,}9\,^\circ\text{C}.\]

Подсказка

Для равномерного подъёма найдите натяжение верёвки, сравнив его с весом груза. Затем запишите равенство моментов сил относительно оси ворота. Скорость груза связана с тем, сколько верёвки наматывается на большой блок и сматывается с малого.

Ответ

\(v = \dfrac{r\omega}{2}\); \(F = \dfrac{mg}{8}\).

Решение

Чтобы подъём груза совершался равномерно, удвоенная сила натяжения верёвки должна равняться силе тяжести груза: \(2T = mg\), откуда \[T = \frac{mg}{2}.\] Так как ворот вращается равномерно, сумма моментов сил, приложенных к нему, равна нулю: \[T r + F\cdot 4r - T\cdot 2r = 0,\] где \(F\) — сила, приложенная к ручке ворота. Отсюда \[F = \frac{T}{4} = \frac{mg}{8}.\] Найдём теперь скорость подъёма груза. Если ворот вращается с угловой скоростью \(\omega\), то за время \(\Delta t\) на большой блок ворота наматывается верёвка длиной \(\Delta l_1 = 2r\omega\,\Delta t\), с малого сматывается верёвка длиной \(\Delta l_2 = r\omega\,\Delta t\). Поэтому верёвка, на которой висит подвижный блок, становится короче на величину \(\Delta l_1 - \Delta l_2 = r\omega\,\Delta t\), а подвижный блок поднимается на половину этой величины: \[\Delta x = \frac{\Delta l_1 - \Delta l_2}{2} = \frac{r\omega\,\Delta t}{2}.\] Отсюда находим скорость подъёма груза (которая равна скорости подъёма блока): \[v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{r\omega}{2}.\]

Подсказка

Подумайте, что произойдёт с шарниром 3, когда сила \(\vec F\) исчезнет, и как при этом растут силы реакции направляющих. Затем запишите условие равновесия стержня: сила трения должна быть не больше максимально возможной.

Ответ

Механизм заклинивается, если коэффициент трения \(k \ge \dfrac{\sqrt{7}}{3} \approx 0{,}88\).

Решение

При выключении силы \(\vec F\) на стержни механизма будет действовать сила натяжения троса, держащего груз, равная силе тяжести груза, сила реакции стенок и сила трения (собственной силой тяжести стержней пренебрегаем). Поэтому шарнир 3 начнёт двигаться вниз, стержни будут «вставать в распор», будет увеличиваться сила реакции, а за ней и сила трения, и возникнет эффект заклинивания стержней — когда сила трения сильно возрастёт и не даст падать грузу.

Найдём необходимый для заклинивания коэффициент трения. Для этого рассмотрим равновесное положение стержней. Условие моментов относительно ползуна даёт \[\frac{1}{2}\,mgl\sin\alpha = N l\cos\alpha,\] где \(N\) — сила реакции шарнира, которая может быть только горизонтальной (из-за симметрии), \(l\) — длина стержня, \(\alpha\) — угол между стержнями и направляющими (или стержнем и вертикальными тросами). Отсюда \[N = \frac{1}{2}\,mg\,\tg\alpha.\] С другой стороны, из условия равенства нулю суммы сил, действующих на стержень, следует, что такой же будет и сила реакции стенок механизма, действующих на ползун. Для покоя стержня сила трения, которая равна половине силе тяжести груза, не должна превосходить своего максимального значения \(kN\), где \(k\) — коэффициент трения. Отсюда получаем условие покоя стержня \[\frac{1}{2}\,k\,mg\,\tg\alpha \ge \frac{1}{2}\,mg \quad\Rightarrow\quad k \ge \ctg\alpha .\] Находя котангенс угла между стержнем и направляющей через заданные размеры системы, получим \[k \ge \frac{\sqrt{7}}{3} = 0{,}88.\]

Подсказка

Рассмотрите треугольник, образованный осями вращения и точкой пересечения стержней. Найдите его углы через \(\omega t\) и покажите, что сторона, соединяющая точку пересечения с осью B, не меняется со временем.

Ответ

Точка пересечения стержней движется по окружности радиуса \(l\) с центром в точке B. При \(t = \pi/6\omega\) её скорость \(v = 2\omega l\), ускорение \(a = 4\omega^2 l\) и направлено оно к центру окружности.

Решение

Пусть после начала движения прошло некоторое время \(t < \pi/2\omega\). Рассмотрим треугольник AOB, где A и B — концы стержней, вокруг которых они вращаются, O — точка пересечения стержней в этот момент.

Угол OBC равен \(2\omega t\), поэтому угол ABO в треугольнике AOB равен \(\pi - 2\omega t\). Угол OAB равен \(\omega t\), значит, угол AOB равен \[\angle AOB = \pi - \angle OAB - \angle ABO = \pi - \omega t - (\pi - 2\omega t) = \omega t.\] Таким образом, в треугольнике OAB углы \(\angle AOB = \angle OAB\), и, следовательно, этот треугольник равнобедренный, в котором \(AB = BO\) в любой момент времени. Поэтому расстояние от точки B до точки пересечения стержней остаётся одинаковым и равным \(l\). Точка пересечения стержней движется с постоянной угловой скоростью \(2\omega\) по окружности с центром в точке B и радиусом \(l\). Поэтому величина скорости этой точки не меняется и равна \[v = 2\omega l. \qquad (*)\] Её ускорение центростремительное и равно \[a = 4\omega^2 l. \qquad (**)\] Рассмотренное решение становится неверным при \(t > \pi/2\omega\), поскольку стержни перестают пересекаться. Однако через время, за которое правый стержень совершит ещё один оборот (при \(t > 3\pi/2\omega\) после начала движения стержней), стержни снова начнут пересекаться, причём точка их пересечения будет находиться ниже отрезка AB. Рассуждения, аналогичные приведённым выше, показывают, что траекторией точки пересечения стержней будет нижняя половинка окружности, а её скорость и ускорение будут такими же. Затем (при \(t > 2\pi/\omega\)) оба стержня станут направлены вправо, и движение точки их пересечения повторится.

Таким образом, в течение половины времени, за которое правый стержень совершит два полных оборота (а левый — один), стержни будут пересекаться, в течение второй половины времени — нет. Точка их пересечения движется сначала по верхней половинке окружности с центром в точке B и радиусом \(l\), затем стержни не пересекаются, затем — по нижней половинке той же окружности. Когда стержни пересекаются, скорость и ускорение точки их пересечения постоянны и определяются формулами (*) и (**). Когда стержни не пересекаются, вопрос о скорости и ускорении точки их пересечения бессмысленен.

Подсказка

Диоды открываются по очереди при напряжениях \(U_0\), \(2U_0\), \(3U_0\), и открытый диод держит на себе напряжение \(U_0\). Что меняется в цепи при открытии каждого следующего диода и как подобрать резисторы, чтобы наклон характеристики менялся нужным образом?

Ответ

Цепь: три диода соединены последовательно от A к B; между узлом M (после первого диода) и узлом B включён резистор сопротивлением \(U_0/I_0\); между узлом N (после второго диода) и узлом B включён резистор сопротивлением \(U_0/I_0\); между узлом Q (после третьего диода) и узлом B включён резистор сопротивлением \(\dfrac{U_0}{3I_0}\).

Решение

Искомая цепь показана на рисунке. Убедимся, что её вольтамперная характеристика именно такая, какая показана на рисунке в условии задачи.

Если к цепи приложено напряжение, меньшее \(U_0\), все три диода закрыты, ток в цепи не течёт. Пусть к цепи приложено напряжение \(U\), которое превосходит \(U_0\) (но не превосходит \(2U_0\)). Тогда открывается диод AM, а остальные диоды по-прежнему закрыты. Ток течёт через диод AM и резистор MO, причём согласно вольтамперной характеристике диода напряжение на диоде равно \(U_0\), а ток может быть любым. Поэтому напряжение на резисторе равно \(U - U_0\), а ток по закону Ома \[I_{MO} = \frac{U - U_0}{R_{MO}},\] где \(R_{MO}\) — сопротивление резистора MO. Поэтому сопротивление этого резистора нужно взять равным \[R_{MO} = \frac{U_0}{I_0}.\] Если к цепи приложено напряжение \(U\), которое превосходит \(2U_0\) (но не превосходит \(3U_0\)), то открывается второй диод MN и ток течёт через диоды AM, MN и резисторы MO и NP. При этом согласно вольтамперной характеристике напряжение на диодах равно \(U_0\), токи определяются токами через резисторы, которые по закону Ома равны \[I_{MO} = \frac{U - U_0}{R_{MO}}, \qquad I_{NP} = \frac{U - 2U_0}{R_{NP}}.\] Отсюда находим, что суммарный ток в цепи при \(U = 2U_0\) равен \[I = I_{MO} + I_{NP} = \frac{2U_0}{R_{MO}} + \frac{U_0}{R_{NP}}.\] А поскольку согласно вольтамперной характеристике цепи этот ток втрое превышает ток \(I_0 = U_0/R_{MO}\), заключаем, что сопротивление резистора NP равно сопротивлению резистора MO: \[R_{NP} = R_{MO} = \frac{U_0}{I_0}.\] Если к цепи приложено напряжение \(U\), которое превосходит \(3U_0\), открывается последний диод и ток течёт через все резисторы. Поскольку напряжения на диодах равны \(U_0\), легко найти напряжение на каждом резисторе, а затем по закону Ома токи: \[I_{MO} = \frac{U - U_0}{R_{MO}}, \qquad I_{NP} = \frac{U - 2U_0}{R_{NP}}, \qquad I_{QB} = \frac{U - 3U_0}{R_{QB}}.\] Поэтому из вольтамперной характеристики цепи находим \[8I_0 = \frac{3U_0}{R_{MO}} + \frac{2U_0}{R_{NP}} + \frac{U_0}{R_{QB}} = 5I_0 + \frac{U_0}{R_{QB}}.\] Отсюда \[R_{QB} = \frac{U_0}{3I_0} = \frac{R_{MO}}{3}.\]