ИОШ, 2020/21, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Чему равен объём смеси, если её составляют два компонента с известными плотностями? Запишите и массовый, и объёмный баланс для третьего сосуда.

Ответ

\(M_1 = 1{,}25\,m\) (из них \(m\) — в первом сосуде и \(0{,}25m\) — в третьем).

Решение

Пусть \(V\) — объём каждого сосуда, \(m_1\) и \(m_2\) — массы жидкостей 1 и 2 в третьем сосуде. Плотности чистых жидкостей равны \(\rho_1 = m/V\) и \(\rho_2 = 1{,}8m/V\). Для третьего сосуда имеем систему \[m_1 + m_2 = 1{,}6\,m, \qquad \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2} = V .\] Подставляя плотности, получаем \(\dfrac{m_1}{m} + \dfrac{m_2}{1{,}8m} = 1\). Решая систему, находим \(m_1 = 0{,}25\,m\) и \(m_2 = 1{,}35\,m\). Поэтому масса жидкости 1 во всех трёх сосудах равна \[M_1 = m + 0{,}25\,m = 1{,}25\,m ,\] а жидкости 2 — \(M_2 = 1{,}8\,m + 1{,}35\,m = 3{,}15\,m\).

Подсказка

Отключение одного выключателя не гасит все лампы, значит, часть ламп включена параллельно. Сравните, какие лампы получают полное напряжение сети, а какие делят его пополам.

Ответ

1) схема — три параллельные ветви: (Л1 с В1), (Л3 с В3) и последовательная цепочка (В2, Л2, В4, Л4); номинальная мощность ламп \(P_0 = 60\) Вт;  2) \(P = 2{,}5\,P_0 = 150\) Вт.

Решение

Если отключение одного выключателя не гасит все лампы, то цепь содержит параллельно соединённые элементы. Отключение В1 и В2 даёт разные мощности, значит, Л1 и Л2 включены в цепь по-разному. Варианты, в которых все лампы включены последовательно или параллельно, а также перестановка ламп 1 и 2, дают несовместимые с условием мощности. Подходит вариант, показанный на рисунке.

Пусть \(P_0\) — мощность одной лампы при напряжении сети \(U\), \(R\) — её сопротивление. При отключении В2 остаются Л1 и Л3, каждая под полным напряжением: \(P_2 = 2P_0 = 120\) Вт, откуда \(P_0 = 60\) Вт.

При отключении В1 лампа Л3 находится под полным напряжением (\(P_0\)), а лампы Л2 и Л4 включены последовательно и делят напряжение пополам. Каждая из них выделяет \(P_0/4\), поэтому \[P_1 = P_0 + 2\cdot\frac{P_0}{4} = 1{,}5\,P_0 = 90~\text{Вт},\] что совпадает с условием.

При включении всех выключателей Л1 и Л3 выделяют по \(P_0\), а последовательная цепочка Л2–Л4 выделяет \(P_0/2\). Итого \[P = 2P_0 + \frac{P_0}{2} = 2{,}5\,P_0 = 150~\text{Вт}.\]

Подсказка

Выразите тангенс угла через горизонтальное расстояние от точки \(A\) до втулки \(F\) и продифференцируйте по времени.

Ответ

\(\omega = \dfrac{v\sin^2\alpha}{l}\).

Решение

Направим ось \(x\) вдоль штока. Координата точки \(A\) меняется по закону \(x_A = x_0 + vt\). Расстояние по горизонтали от \(A\) до втулки \(F\) равно \(l\,\mathrm{ctg}\,\alpha\), поэтому \[\mathrm{ctg}\,\alpha = \frac{x_F - x_A}{l} .\] Дифференцируя по времени, получаем \[-\frac{1}{\sin^2\alpha}\,\frac{d\alpha}{dt} = -\frac{v}{l} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\alpha}{dt} = \frac{v\sin^2\alpha}{l} .\] Угловая скорость стержня равна \(\omega = d\alpha/dt\): при движении штока в сторону \(B\) угол \(\alpha\) растёт, стержень вращается против часовой стрелки (по рисунку) с угловой скоростью \(\omega = v\sin^2\alpha/l\).

Подсказка

Подумайте, какие точки цепи имеют одинаковый потенциал из соображений симметрии. Что можно выбросить из схемы, не меняя её сопротивления?

Ответ

\(R = \dfrac{2r}{2021} \approx 0{,}99\cdot 10^{-3}\) Ом.

Решение

Между двумя выбранными гвоздями (крайними контактами) включены 2019 промежуточных гвоздей, соединённых проводами друг с другом. По симметрии цепи все промежуточные гвозди имеют одинаковый потенциал, поэтому провода между ними тока не несут и их можно выбросить без изменения цепи.

Остаётся параллельное соединение: 2019 ветвей, каждая из которых состоит из двух последовательных проводов сопротивлением \(r\) (то есть \(2r\)), и один провод сопротивлением \(r\) между выбранными гвоздями. Поэтому \[\frac{1}{R} = \frac{2019}{2r} + \frac{1}{r} = \frac{2021}{2r}, \qquad R = \frac{2r}{2021} \approx 0{,}99\cdot 10^{-3}~\text{Ом} .\]

Подсказка

Все три тела касаются друг друга в одной точке. Найдите, как связаны скорость центра диска и скорость центра обруча, и примените условие отсутствия проскальзывания в точке касания.

Ответ

\(\omega_д = \dfrac{v}{r}\),  \(\omega_о = \dfrac{(R-2r)\,v}{2r\,(R-r)}\) (оба тела вращаются в одну сторону, по часовой стрелке при движении вправо).

Решение

Пусть в некоторый момент диск и обруч находятся в самом нижнем положении в трубе, как на рисунке. Центр обруча \(O_1\) движется по окружности радиуса \(R-2r\), центр диска — по окружности радиуса \(R-r\) (он лежит внутри обруча, на расстоянии \(r\) от его центра). Оба центра вращаются вокруг оси трубы с одной угловой скоростью \[\Omega = \frac{v}{R-r}.\] В точке касания всех трёх тел скорость должна быть равна нулю (нет проскальзывания), поэтому для тела радиуса \(\rho\), катящегося внутри окружности радиуса \(R\), абсолютная угловая скорость равна \[\omega = \frac{(R-\rho)\,\Omega}{\rho} .\] Для диска (\(\rho = r\)) получаем \(\omega_д = \dfrac{v}{r}\), для обруча (\(\rho = 2r\)) — \(\omega_о = \dfrac{(R-2r)\,v}{2r\,(R-r)}\). Оба тела вращаются в одну сторону.

Подсказка

Выделите мысленно цилиндр радиуса \(x\) и приравняйте тепло, которое через его боковую поверхность уходит наружу, тепловыделению внутри него.

Ответ

\(T_{\text{центр}} - T_{\text{пов}} = \dfrac{q_l}{4\pi\lambda} \approx 26{,}5\) К (от радиуса цилиндра не зависит).

Решение

В тепловом равновесии поток тепла через боковую поверхность цилиндра радиуса \(x\) равен тепловыделению внутри неё. На отрезке длины \(l\) выделяется \(q_l\,l\) тепла, а внутри радиуса \(x\) — доля \(x^2/R^2\) от этого: \[Q(x) = q_l\,l\,\frac{x^2}{R^2}.\] По закону Фурье через боковую поверхность \(2\pi x\,l\) этот поток равен \(Q(x) = 2\pi x\,l\,\lambda\,\left|\dfrac{dT}{dx}\right|\), откуда \[\left|\frac{dT}{dx}\right| = \frac{q_l\,x}{2\pi\lambda R^2}.\] Перепад температуры между осью и поверхностью получаем интегрированием по \(x\) от \(0\) до \(R\): \[T_{\text{центр}} - T_{\text{пов}} = \int_0^R \frac{q_l\,x}{2\pi\lambda R^2}\,dx = \frac{q_l}{4\pi\lambda} \approx 26{,}5~\text{К}.\] Результат не зависит от радиуса цилиндра.