ИОШ, 2022/23, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Стержни могут действовать только вдоль себя. Рассмотрите равновесие участка трубы длиной \(l\) с жидкостью внутри и приложенными к нему силами реакции.

Ответ

1) \(N_A = \dfrac{\sqrt{3}}{12}\,\rho\pi d^2 l g\);  2) \(N_B = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\,\rho\pi d^2 l g\).

Решение

Поскольку стержни прикреплены к стене и трубе шарнирно, они могут оказывать силы, направленные только вдоль них самих. Поэтому силы действуют на трубу так, как показано на рисунке (силы реакции стержней обозначены \(\vec N_A\) и \(\vec N_B\)). Проецируя условие равновесия трубы \(m\vec g + \vec N_A + \vec N_B = 0\) на вертикальную и горизонтальную оси, получим \[N_A = mg\,\operatorname{tg}\alpha, \qquad N_B = \frac{mg}{\cos\alpha} .\] На каждую пару стержней приходится часть трубы длиной \(l\); масса жидкости в этой части \[m = \frac{1}{4}\,\rho\pi d^2 l .\] Поэтому \[N_A = \frac{\sqrt{3}}{12}\,\rho\pi d^2 l g, \qquad N_B = \frac{\rho\pi d^2 l g}{4\cos\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{6}\,\rho\pi d^2 l g .\]

Подсказка

Составьте уравнение теплового баланса нагревателя для всей воды, проходящей через него за время \(\Delta t\). Какая часть этой воды возвращается в поток станции?

Ответ

\(\Delta T_1 = \dfrac{35}{36}\,\Delta T \approx 0{,}97\,\Delta T\).

Решение

За малый интервал времени \(\Delta t\) из водопровода на станцию поступает масса воды \(\Delta\mu\); такое же количество нагретой воды уходит со станции. За это время нагреватель выделяет количество теплоты \(\Delta Q = P\,\Delta t\). Это тепло расходуется на нагревание воды, поступающей на станцию из водопровода, и воды, которая вернулась в поток после отдачи тепла самой станции. Если в систему нагрева станции за время \(\Delta t\) уходила масса воды \(\Delta m\), то мимо нагревателя проходила масса воды \(\Delta\mu + \Delta m\), причём \(\Delta m\) в первом случае составляет десятую часть всего потока: \[\Delta m = \frac{1}{10}\left(\Delta\mu + \Delta m\right) \quad\Rightarrow\quad \Delta m = \frac{1}{9}\,\Delta\mu .\] Следовательно, уравнение теплового баланса в первом случае: \[c\,\frac{10}{9}\,\Delta\mu\,\Delta T = P\,\Delta t .\] Во втором случае для отопления станции используется восьмая часть потока, поэтому \[c\,\frac{8}{7}\,\Delta\mu\,\Delta T_1 = P\,\Delta t .\] Деля эти формулы друг на друга, получим \[\frac{\Delta T}{\Delta T_1} = \frac{9}{10}\cdot\frac{8}{7} = \frac{36}{35},\] откуда \[\Delta T_1 = \frac{35}{36}\,\Delta T \approx 0{,}97\,\Delta T .\]

Подсказка

Найдите отношение сопротивлений проволок и, следовательно, распределение тока между ними при параллельном соединении. Какая проволока перегорит первой?

Ответ

1) \(I = 5{,}8\text{ А}\);  2) \(I = 18\text{ А}\).

Решение

Сопротивление проволоки обратно пропорционально площади её поперечного сечения, поэтому сопротивления \(R_1\) тонкой и \(R_2\) толстой проволок одинаковой длины относятся как \[\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2 = 6{,}25 .\] Значит, при параллельном соединении ток в тонкой проволоке в \(6{,}25\) раза меньше, чем в толстой. Предельные токи в проволоках отличаются в \(I_2/I_1 = 2{,}8\) раза, поэтому при увеличении тока в цепи первой перегорит толстая проволока, когда ток в ней достигнет значения \(I_2 = 5\text{ А}\). В этот момент ток в тонкой проволоке \[\frac{d_1^2}{d_2^2}\,I_2 = 0{,}8\text{ А},\] а ток в цепи \[I_3 = I_2 + \frac{d_1^2}{d_2^2}\,I_2 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{d_2^2}\,I_2 = 5{,}8\text{ А}.\] После перегорания толстой проволоки весь этот ток потечёт через тонкую проволоку (ток в цепи не изменится, так как сопротивление предохранителя много меньше сопротивления остальной цепи), которая тоже перегорит.

Если соединить параллельно десять тонких проволок и одну толстую, то первой по-прежнему перегорит толстая проволока, когда ток через неё достигнет значения \(I_2 = 5\text{ А}\). В этот момент ток через каждую тонкую проволоку равен \(\dfrac{d_1^2}{d_2^2}\,I_2 = 0{,}8\text{ А}\). После перегорания толстой ток через каждую тонкую проволоку увеличится на \(0{,}5\text{ А}\) и достигнет \(1{,}3\text{ А}\). Но тонкие проволоки не перегорят, поэтому такой предохранитель разрывает цепь при токе \[I_4 = 10\,I_1 = 18\text{ А} .\]

Подсказка

Постройте изображение \(S\) в зеркале для двух положений зеркала. Какую траекторию описывает изображение, и с какой угловой скоростью оно вращается по ней?

Ответ

\(v = 1\text{ м/с}\);  \(a = 2\text{ м/с}^2\).

Решение

Построим изображение источника \(S'\) в исходном положении зеркала и \(S''\) после поворота зеркала на угол \(\alpha\).

Треугольники \(SO'O\) и \(SS''S'\) подобны: у них общий угол \(\alpha\), а прилежащие к нему стороны пропорциональны с коэффициентом 2, так как расстояние от источника до изображения вдвое больше расстояния от источника до зеркала: \[\frac{SS'}{SO} = \frac{SS''}{SO'} = 2 .\] Угол \(SO'O\) прямой (изображение лежит на продолжении перпендикуляра, опущенного из источника на зеркало), поэтому прямым является и угол \(SS''S'\) при любом угле поворота зеркала. Значит, изображение движется по окружности, для которой отрезок \(SS'\) является диаметром. Радиус этой окружности \(R = SO = d\).

Если зеркало повернулось на угол \(\alpha\), то \(OS = OS''\) и \(\angle OSS'' = \angle OS''S = \alpha\), поэтому \(\angle S'OS'' = 2\alpha\). Изображение вращается с постоянной угловой скоростью \(\omega' = 2\omega\). Скорость изображения постоянна и равна \[v = \omega' R = 2\omega d = 1\text{ м/с} .\] Так как изображение движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, его ускорение центростремительное: \[a = \omega'^2 R = 4\omega^2 d = 2\text{ м/с}^2 .\]

Подсказка

Выразите долю потерь через сопротивление линии и сопротивление потребителя. Какое изменение напряжения на входе сохранит мощность, передаваемую потребителю?

Ответ

1) \(\dfrac{U_2}{U_1} \approx 2{,}15\);  2) сопротивление потребителя нужно увеличить в \(5\) раз.

Решение

Пусть сопротивление линии равно \(r\), сопротивление потребителя в первом случае \(R_1\), напряжение на входе линии \(U_1\). Ток в линии по закону Ома \(I_1 = \dfrac{U_1}{r + R_1}\). Мощность потерь \(P_0\), мощность, передаваемая потребителю, \(P_{потр}\), и отношение мощности потерь к мощности потребителя \(\eta_1\) равны \[P_0 = \left(\frac{U_1}{r + R_1}\right)^2 r, \qquad P_{потр} = \left(\frac{U_1}{r + R_1}\right)^2 R_1, \qquad \eta_1 = \frac{P_0}{P_{потр}} = \frac{r}{R_1} .\] Из последней формулы следует, что чтобы понизить долю потерь, нужно увеличить сопротивление потребителя по сравнению с сопротивлением линии. Но если сделать только это, то будет уменьшаться и мощность, передаваемая потребителю. Поэтому, чтобы она не изменилась, нужно увеличить напряжение на входе линии.

Пусть новое напряжение на входе линии \(U_2\), сопротивление потребителя \(R_2\). Имеем \[\left(\frac{U_1}{r + R_1}\right)^2 R_1 = \left(\frac{U_2}{r + R_2}\right)^2 R_2 .\] Так как сопротивление линии в \(\eta\) раз меньше сопротивления потребителя, \(R = r/\eta\), и \[\frac{U_2}{U_1} = \sqrt{\frac{\eta_1}{\eta_2}}\,\frac{1 + \eta_2}{1 + \eta_1} = \frac{1 + \eta_2}{1 + \eta_1}\sqrt{\frac{\eta_1}{\eta_2}} \approx 2{,}15 .\] Сопротивление потребителя при этом увеличивается в \(R_2/R_1 = \eta_1/\eta_2 = 5\) раз. Поскольку множитель перед корнем близок к единице (здесь \(0{,}96\)), обычно считают, что для уменьшения потерь в \(n\) раз нужно повысить напряжение в линии в \(\sqrt{n}\) раз (в нашем случае примерно в \(2{,}24\) раза), а сопротивление потребителя увеличить в \(n\) раз.

Подсказка

Колесо переезжает бревно благодаря силе трения между колесом и бревном. Сравните условия непроскальзывания на обоих контактах: какой из них нарушится первым?

Ответ

\(\mu \geq \sqrt{\dfrac{r}{R}}\).

Решение

Чтобы колесо смогло переехать бревно, должны выполняться следующие условия: при контакте с колесом бревно не должно вращаться и не должно скользить по дороге. При выполнении этих условий сила трения \(\vec F_{тр}\) и сила реакции \(\vec N\), действующие на колесо в точке контакта с бревном (и которые можно увеличивать, нажимая на педаль «газа» автомобиля), поднимут колесо, и вместе с силой \(\vec F\), действующей на колесо со стороны автомобиля, заставят его «перевалить» через бревно. На рисунке 1 показаны силы, действующие на колесо со стороны бревна и автомобиля.

Исследуем выполнимость этих условий. На бревно действуют: силы реакции \(\vec N\) и трения \(\vec F_{тр}\) со стороны колеса и силы реакции \(\vec N_1\) и трения \(\vec F_{тр,1}\) со стороны земли (см. рисунок 2). Поскольку силы реакции проходят через центр бревна, из уравнения моментов относительно центра заключаем, что \[F_{тр} = F_{тр,1} \qquad (1)\] а из уравнения сил в проекциях на горизонтальное направление \[N\cos\alpha - F_{тр}\sin\alpha = F_{тр,1} \qquad (2)\] где \(\alpha\) — угол между силой реакции и поверхностью земли (см. рисунок 2). Отсюда \[F_{тр} = F_{тр,1} = \frac{N\cos\alpha}{1 + \sin\alpha} .\] Уравнения сил в проекциях на вертикальное направление дают \[N_1 = N\sin\alpha + F_{тр}\cos\alpha = N\sin\alpha + \frac{N\cos^2\alpha}{1 + \sin\alpha} = N .\]

Таким образом, оба условия проскальзывания — между колесом и бревном \(F_{тр} \leq \mu N\) и между бревном и дорогой \(F_{тр,1} \leq \mu N_1\) — будут нарушаться одновременно. Эти условия дают \[\frac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha} \leq \mu .\] Учитывая, что \[\sin\alpha = \frac{R - r}{R + r}, \qquad \cos\alpha = \frac{2\sqrt{Rr}}{R + r},\] получим условие переезда колеса через бревно \[\mu \geq \sqrt{\frac{r}{R}} .\]