ИОШ, 2023/24, отборочный этап, 11 класс

Запишите уравнение теплового баланса отдельно для каждого калориметра. Масса холодной воды в каждом из них выражается через долю объёма, а масса горячей воды — через остаток объёма до краёв.

Комнатная температура \(t_0 = 23\,^{\circ}\text{C}\); температура горячей воды \(t_г = 89\,^{\circ}\text{C}\).

Пусть масса воды, которая помещается в калориметр, равна \(m\). Тогда уравнения теплового баланса для воды в калориметрах дают \[c\,\frac{m}{3}\,(t_1-t_0) = c\,\frac{2m}{3}\,(t_г-t_1), \qquad c\,\frac{m}{2}\,(t_2-t_0) = c\,\frac{m}{2}\,(t_г-t_2),\] где \(t_0\) — комнатная температура, \(t_г\) — температура горячей воды. Решая эту систему уравнений, получим \[t_0 = 4t_2 - 3t_1 = 23\,^{\circ}\text{C}, \qquad t_г = 3t_1 - 2t_2 = 89\,^{\circ}\text{C}.\]

КПД — отношение механической мощности двигателя к электрической мощности, которую отдаёт источник. Механическая мощность выражается через момент силы и угловую скорость.

1) механическая мощность \(N_{\text{мех}} \approx 6{,}65\ \text{Вт}\);  2) \(\eta \approx 0{,}67\).

КПД электродвигателя — отношение механической работы двигателя к затраченной электрической энергии. Энергию затрачивает источник, совершая в единицу времени работу \[W = \varepsilon I.\] Механическая мощность двигателя может быть найдена как \[N_{\text{мех}} = M\omega = 2\pi M n,\] где \(M\) — момент силы, развиваемый двигателем, \(\omega\) — угловая скорость вращения двигателя, \(n\) — число оборотов двигателя в секунду. Действительно, пусть сила, вращающая маховик двигателя, приложена на расстоянии \(r\) от оси его вращения и направлена по касательной к радиусу. Тогда в единицу времени эта сила совершает работу \(A = N_{\text{мех}} = Fv\), численно равную механической мощности. Умножая и деля это равенство на \(r\), получаем формулу для механической мощности. Подставляя значения из условия, получим \[N_{\text{мех}} = 2\pi M n = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 170{,}5 \cdot 10^{-5}\ \text{кг}\cdot\text{м} \cdot 9{,}81\ \text{м/с}^2 \cdot \frac{3800}{60}\ \text{1/с} \approx 6{,}65\ \text{Вт}.\] Деля эту мощность на работу источника, найдём КПД электродвигателя: \[\eta = \frac{2\pi M n}{\varepsilon I} = \frac{6{,}65\ \text{Вт}}{12\ \text{В}\cdot 0{,}83\ \text{А}} \approx 0{,}67.\]

За малый интервал времени стержень повернётся на малый угол \(\Delta\alpha\). Перемещение колечка по прямой \(CD\) найдите через длину участка \(AK\) и \(\Delta\alpha\). Длину \(AK\) выразите через \(l\) и \(\alpha\), спроецировав ломаную \(OAK\) на перпендикуляр к \(CD\).

\(v = \dfrac{(2-\cos\alpha)\,l\,\omega}{\sin^2\alpha}\).

Рассмотрим малое перемещение колечка за малый интервал времени \(\Delta t\) около того момента, когда часть стержня \(AB\) составляет угол \(\alpha\) с прямой \(CD\). За этот интервал часть стержня \(AB\) повернётся на малый угол \(\Delta\alpha\) по сравнению со своим первоначальным положением, и изменится также положение точки \(A\). Очевидно, перемещением колечка является отрезок \(KK'\), который можно найти как \[KK' = \frac{AK\cdot\Delta\alpha}{\sin\alpha},\] где \(AK\) — длина участка стержня от точки \(A\) до колечка (поскольку перемещение точки \(A\) мало, вклад изменения положения точки \(A\) в перемещение колечка — малая величина, и его не учитываем). Так как \(\Delta\alpha = \omega\,\Delta t\), то для скорости колечка получаем \[v = \frac{KK'}{\Delta t} = \frac{AK\cdot\omega}{\sin\alpha}.\] Найдём длину \(AK\). Геометрически находим \[OA\cos\alpha + AK\sin\alpha = 2l,\] отсюда \[AK = \frac{l\,(2-\cos\alpha)}{\sin\alpha}.\] В результате для скорости колечка получаем \[v = \frac{(2-\cos\alpha)\,l\,\omega}{\sin^2\alpha}.\]

Сопротивление цепи не зависит от положения ползунка, значит, через реостат ток не течёт. Какое соотношение между \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), \(R_4\) тогда должно выполняться?

1) \(R_4 = 75\) Ом;  2) \(R \approx 55{,}6\) Ом.

Сопротивление цепи не будет меняться при перемещении ползунка реостата только в том случае, когда через реостат не течёт электрический ток. Это значит, что напряжение на реостате равно нулю, то есть \[I_1 R_1 = I_2 R_3,\] где \(I_1\) и \(I_2\) — токи, текущие через верхнюю и нижнюю ветви цепи соответственно. Поскольку \[I_1 = \frac{U}{R_1+R_2} \quad \text{и} \quad I_2 = \frac{U}{R_3+R_4},\] получаем \[\frac{R_1}{R_1+R_2} = \frac{R_3}{R_3+R_4} \quad \Rightarrow \quad R_1 R_4 = R_2 R_3.\] Отсюда находим сопротивление \(R_4\) и сопротивление \(R\) всей цепи: \[R_4 = \frac{R_2 R_3}{R_1} = 75~\text{Ом}, \qquad R = \frac{(R_1+R_2)^2 R_3}{R_1^2 + R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3} \approx 55{,}6~\text{Ом}.\]

Поскольку воздух прозрачен для солнечного излучения, он нагревается только от поверхности земли, которая нагревается, поглощая солнечное излучение. В результате воздух вблизи поверхности земли расширяется, у него уменьшается плотность, и он «всплывает» (по закону Архимеда) в окружающем более холодном воздухе. Рассмотрим такую «всплывающую» порцию воздуха. Поскольку давление воздуха уменьшается с увеличением высоты над поверхностью земли, уменьшается и давление рассматриваемой порции воздуха. А так как обмениваться теплом с окружающим воздухом она не успевает, с ней происходит адиабатическое расширение с уменьшением температуры. В результате при определённой высоте над поверхностью земли температура «всплывающего» воздуха достигает точки росы и происходит конденсация пара в маленькие капельки воды — образуются облака. Таким образом, конденсация пара происходит при строго определённой высоте, а потому нижняя поверхность облаков — плоская. Граница конденсации зависит от влажности воздуха и температуры, поэтому в разные дни граница облаков может оказаться на разной высоте над землёй.

При конденсации пара выделяется тепло, что приводит к небольшому повышению температуры окружающего воздуха, и, следовательно, внутри облака возникают восходящие потоки, которые поднимают сконденсировавшиеся капельки воды на разные высоты. Именно поэтому верхняя граница облаков — не резкая, а похожа на восходящие клубы тумана.

Запишите второй закон Ньютона для каждого ползуна в проекциях. Стержень нерастяжим, поэтому проекции скоростей его концов на стержень равны — это даёт связь между ускорениями.

1) \(a_A = \dfrac{g\cos^2\alpha}{1+\sin^2\alpha}\);  2) \(a_B = \dfrac{g\sin\alpha\cos\alpha}{1+\sin^2\alpha}\).

Силы, действующие на ползуны, — силы тяжести \(mg\) и \(2mg\), силы реакции направляющих \(\vec N_A\) и \(\vec N_B\), перпендикулярные направляющим (они гладкие), и силы \(\vec T_A\) и \(\vec T_B\) со стороны стержня, которые могут быть направлены только вдоль стержня (стержень не имеет массы). Второй закон Ньютона для ползунов в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси дает \[m a_A = mg - T\sin\alpha, \qquad 2m a_B = T\cos\alpha,\] где учтено, что модули сил натяжения стержня, действующих на ползуны, одинаковы. Поскольку стержень нерастяжим, проекции скоростей концов на стержень равны друг другу: \(v_A\sin\alpha = v_B\cos\alpha\). Значит, в любой момент времени \[v_B = v_A\,\text{tg}\,\alpha,\] и в самый первый момент после отпускания ползунов \[a_B = a_A\,\text{tg}\,\alpha.\] Решая систему уравнений, получим \[a_A = \frac{g\cos^2\alpha}{1+\sin^2\alpha}, \qquad a_B = \frac{g\sin\alpha\cos\alpha}{1+\sin^2\alpha}.\]