ИОШ, 2023/24, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Условие плавания льдины с рыбаком: сила Архимеда уравновешивает их общий вес. Масса льдины выражается через её объём и плотность льда.

Ответ

\(S = \dfrac{m}{(\rho-\rho_0)\,h} \approx 1{,}88\) м\(^2\).

Решение

На льдину действуют сила тяжести, сила Архимеда и сила со стороны рыбака, равная его силе тяжести. Поэтому условие плавания льдины при её полном погружении в воду даёт \[mg + Mg = \rho g V,\] где \(M\) — масса льдины, \(V\) — её объём. Поскольку \(M = \rho_0 V\), получаем \[m = (\rho-\rho_0)\,V = (\rho-\rho_0)\,S h,\] где \(S\) — площадь льдины, \(h\) — её толщина. Отсюда площадь льдины, которая может удержать рыбака над водой, \[S = \frac{m}{(\rho-\rho_0)\,h} = 1{,}88~\text{м}^2.\]

Подсказка

Сопротивление пластины пропорционально длине вдоль тока и обратно пропорционально площади поперечного сечения. Запишите оба значения \(r_1\) и \(r_2\) и найдите их произведение.

Ответ

\(r = \sqrt{r_1 r_2}\).

Решение

Пусть удельное сопротивление материала фольги равно \(\rho\), толщина \(d\), длина короткой стороны прямоугольника из фольги — \(a\), длинной — \(b\). Тогда сопротивление фольги, подключённой к электродам короткой стороной, \[r_1 = \frac{\rho b}{a d},\] а длинной стороной — \[r_2 = \frac{\rho a}{b d}.\] Умножая эти формулы друг на друга, найдём \[\rho = d\sqrt{r_1 r_2}.\] Когда из той же фольги вырезается квадрат со стороной \(x\) и подключается своими сторонами к электродам, его сопротивление будет равно \[r = \frac{\rho x}{x d} = \frac{\rho}{d} = \sqrt{r_1 r_2}.\] От размера квадрата это сопротивление не зависит.

Подсказка

Тень имеет форму круга, граница которого образована лучами, касательными к шару. Рассмотрите подобные треугольники, у которых вершины — источник, центр шара и точка касания или край тени.

Ответ

радиус тени \(x = \sqrt{\dfrac{25}{3}}\,r \approx 2{,}9\,r\).

Решение

Ясно, что тень от предмета на экране будет иметь форму круга, причём крайние лучи, образующие границу тени, являются касательными к шару. Из подобия треугольников \(SOB\) и \(SAC\) имеем \[\frac{OB}{OS} = \frac{AC}{SC}.\] Здесь \(OB = r\) — радиус шара, \(OS = 2r\), \(AC = x\) — радиус тени на экране, \(SC = \sqrt{25r^2+x^2}\). Получаем \[\frac{r}{2r} = \frac{x}{\sqrt{25r^2+x^2}}.\] Решая это уравнение относительно \(x\), получим \[x = \sqrt{\frac{25}{3}}\,r \approx 2{,}9\,r.\]

Подсказка

Найдите мощность нагревателя, суточный расход энергии, затем расход за месяц. Не забудьте перевести ватт-часы в киловатт-часы.

Ответ

\(A \approx 3730\) руб.

Решение

Нагреватель потребляет от сети мощность \[P = UI.\] Поэтому расход электроэнергии за сутки составляет \[Q = Pt = UIt,\] где \(t = 12\) ч — время работы нагревателя в течение суток. Согласно существующему тарифу эта электроэнергия стоит \[A = \eta Q = \eta UIt N = 4{,}71\,\frac{\text{руб}}{\text{кВт}\cdot\text{ч}}\cdot \frac{220\cdot 10}{10^3}\,\text{кВт}\cdot 12\,\text{ч}\cdot 30 = 3730~\text{рублей},\] где \(N = 30\) дней.

Подсказка

Чтобы менять направление тока через двигатель на противоположное, включите его в «мост» из четырёх выключателей. Какие диагонали моста должны замыкаться в каждом из двух режимов?

Решение

Основная идея реверсного подключения двигателя постоянного тока заключается в использовании мостовой цепи (см. схему цепи на рисунке 1), причём двигатель нужно включить в «мост» цепи. Тогда при замыкании выключателей A и D и размыкании выключателей B и C ток через двигатель течёт слева направо, а при замыкании выключателей B и C и размыкании выключателей A и D ток через двигатель течёт справа налево (то есть в этих случаях двигатель вращается в разные стороны). При замыкании или размыкании всех выключателей ток через двигатель не течёт, двигатель не вращается. Таким образом, с помощью двух кнопок-выключателей с самовозвратом нужно осуществить показанное подключение.

Одновременно разрывать два провода можно, например, с помощью соединения, схема которого показана на рисунке 2.

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для каждого ползуна в проекциях. Стержень нерастяжим, поэтому проекции скоростей его концов на стержень равны — это даёт связь между ускорениями.

Ответ

1) \(a_A = \dfrac{g\cos^2\alpha}{1+\sin^2\alpha}\);  2) \(a_B = \dfrac{g\sin\alpha\cos\alpha}{1+\sin^2\alpha}\).

Решение

Силы, действующие на ползуны, — силы тяжести \(mg\) и \(2mg\), силы реакции направляющих \(\vec N_A\) и \(\vec N_B\), перпендикулярные направляющим (они гладкие), и силы \(\vec T_A\) и \(\vec T_B\) со стороны стержня, которые могут быть направлены только вдоль стержня (стержень не имеет массы).

Второй закон Ньютона для ползунов в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси даёт \[m a_A = mg - T\sin\alpha, \qquad 2m a_B = T\cos\alpha,\] где учтено, что модули сил натяжения стержня, действующих на ползуны, одинаковы. Поскольку стержень нерастяжим, проекции скоростей концов на стержень равны друг другу: \(v_A\sin\alpha = v_B\cos\alpha\). Значит, в любой момент времени \[v_B = v_A\,\text{tg}\,\alpha,\] и в самый первый момент после отпускания ползунов \[a_B = a_A\,\text{tg}\,\alpha.\] Решая систему уравнений, получим \[a_A = \frac{g\cos^2\alpha}{1+\sin^2\alpha}, \qquad a_B = \frac{g\sin\alpha\cos\alpha}{1+\sin^2\alpha}.\]