ИОШ, 2023/24, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Растяните всю цепочку и подумайте, какие участки проводника оказываются соединёнными параллельно, а какие — последовательно. Какое сопротивление нужно измерить, чтобы оно было связано с сопротивлением всего провода?

Ответ

Растянуть цепочку и измерить омметром сопротивление \(r\) между крайними точками; \(\rho = \dfrac{4rS}{l}\).

Решение

Нужно растянуть проводники и измерить сопротивление между крайними точками. Эквивалентная схема полученной цепи показана на рисунке.

Длины каждой пары параллельно расположенных проводников равны половине длины каждого замкнутого проводника. Поэтому сопротивление такой пары равно \(R_i/4\), где \(R_i\) — сопротивление каждого кольцевого проводника. Сопротивление \(r\) всей цепи при растяжении всех проводников и измерении сопротивления между её крайними точками равно \[r = \frac{R_1}{4}+\frac{R_2}{4}+\frac{R_3}{4}+\frac{R_4}{4}+\frac{R_5}{4} = \frac{1}{4}\bigl(R_1+R_2+R_3+R_4+R_5\bigr) = \frac{R}{4},\] где \(R\) — сопротивление всего провода. Значит, сопротивление провода равно учетверённому измеренному сопротивлению. Так как \(R = \rho l/S\), где \(\rho\) — удельное сопротивление материала провода, \(l\) — его длина, \(S\) — площадь поперечного сечения, то \[\rho = \frac{4rS}{l},\] где \(r\) — результат измерения сопротивления всей цепи при растянутых проводниках между её крайними точками.

Подсказка

Разбейте растянутое кольцо на прямолинейные участки между цилиндрами и участки, охватывающие цилиндры. Какой суммарной длины получаются эти участки?

Ответ

\(N = (2\pi-1)\,kR \approx 5{,}28\,kR\).

Решение

Найдём удлинение кольца. Его длина складывается из трёх участков длиной \(2R\) между цилиндрами (на рисунке показаны красным) и трёх участков, касающихся цилиндров (зелёный). Поскольку последние опираются на угол, составляющий треть полного угла, их суммарная длина равна \(2\pi R\). Поэтому длина растянутого кольца равна \[L = 6R + 2\pi R = 2R\,(3+\pi).\] Длина недеформированного кольца \(7R\), значит, удлинение составляет \[\Delta l = (2\pi R + 6R) - 7R = (2\pi-1)R,\] и сила натяжения кольца по закону Гука \[F = k\,\Delta l = k(2\pi-1)R.\] Силы взаимодействия цилиндров \(N\) направлены так же, как силы натяжения кольца, поэтому они равны силе натяжения кольца: \[N = F = (2\pi-1)\,kR \approx 5{,}28\,kR.\]

Подсказка

Запишите вклады бензина и этанола в теплоту сгорания смеси: \(m_Б q_Б\) и \(m_Э q_Э\) — и используйте условие «втрое больше» и то, что \(m_Б + m_Э = m\).

Ответ

1) \(w_Б = \dfrac{3q_Э}{3q_Э+q_Б} \approx 0{,}66\), \(w_Э \approx 0{,}34\);  2) \(q \approx 39\) МДж/кг.

Решение

Рассмотрим массу \(m\) смеси бензина и биоэтанола. Для масс бензина \(m_Б\) и этанола \(m_Э\) в смеси выполнены условия \[m = m_Б + m_Э, \qquad m_Б q_Б = 3\,m_Э q_Э.\] Решая эту систему, получим \[m_Б = \frac{3q_Э\,m}{3q_Э+q_Б}, \qquad m_Э = \frac{q_Б\,m}{3q_Э+q_Б}.\] Отсюда массовые доли бензина и этанола в смеси \[w_Б = \frac{m_Б}{m} = \frac{3q_Э}{3q_Э+q_Б} \approx 0{,}66, \qquad w_Э = \frac{m_Э}{m} = \frac{q_Б}{3q_Э+q_Б} \approx 0{,}34.\] Удельная теплота сгорания смеси \[q = \frac{m_Б q_Б + m_Э q_Э}{m} = w_Б q_Б + w_Э q_Э = \frac{4\,q_Б\,q_Э}{3q_Э+q_Б} \approx 39{,}0~\text{МДж/кг}.\]

Подсказка

Найдите угловые скорости обеих стрелок в системе отсчёта циферблата и подумайте, сколько раз за сутки минутная стрелка делает поворот относительно часовой на полный оборот; за каждый такой оборот стрелки дважды перпендикулярны.

Ответ

60 раз.

Решение

После порчи часов угловая скорость часовой стрелки стала равна \(\omega_ч = -\dfrac{2\pi}{4}\) рад/ч. За сутки часовая стрелка сделает 6 целых оборотов, а минутная (идущая с «правильной» угловой скоростью) — 24 целых оборота. Поэтому в начале и в конце суток положения стрелок совпадают.

За каждый оборот минутной стрелки относительно часовой стрелки они дважды оказываются перпендикулярны друг другу. Количество оборотов минутной стрелки относительно часовой равно количеству встреч этих стрелок за сутки (кроме встречи, с которой сутки начались). Так как часовая стрелка движется навстречу минутной и совершает за сутки 6 оборотов, а минутная — 24, за сутки произойдёт \(6+24 = 30\) встреч. Значит, за сутки минутная стрелка будет перпендикулярна часовой \(2\cdot 30 = 60\) раз.

Подсказка

Сравните, как при смещении точки касания по доске меняется высота центра тяжести конусов: за счёт подъёма самой доски и за счёт смещения точки касания вдоль оси конусов. Равновесие соответствует равенству этих изменений.

Ответ

1) при движении конусов по доскам вверх центр тяжести может опускаться, подниматься или оставаться на той же высоте;  2) равновесие (безразличное) при \(\operatorname{tg}\beta = \sin\alpha\,\operatorname{tg}\gamma\);  3) при \(\operatorname{tg}\beta < \sin\alpha\,\operatorname{tg}\gamma\) конусы движутся вверх по доскам, при \(\operatorname{tg}\beta > \sin\alpha\,\operatorname{tg}\gamma\) — вниз.

Решение

Пусть точка касания конусов и дощечек переместилась вверх на расстояние \(x\) по дощечкам (красный отрезок на рисунке). Тогда точка касания поднялась над землёй на высоту \(\Delta h_1 = x\sin\beta\), где \(\beta\) — угол подъёма дощечек. С другой стороны, перемещение точки касания на расстояние \(x\) по дощечкам приводит к перемещению оси конусов на расстояние \[\Delta x_1 = x\cos\beta\cos\alpha\] (зелёный отрезок), где \(\alpha\) — угол полураствора дощечек. С третьей стороны, перемещение оси конусов на расстояние \(\Delta x_1\) приводит к перемещению точки касания конусов и дощечек по оси конусов на \[\Delta y = \Delta x_1\operatorname{tg}\alpha = x\cos\beta\sin\alpha,\] что приводит к опусканию точки касания на величину \[\Delta z = \Delta y\operatorname{tg}\gamma = x\cos\beta\sin\alpha\operatorname{tg}\gamma.\] Таким образом, центр тяжести конусов останется на той же высоте над землёй, если выполнено условие \(\Delta h_1 = \Delta z\), т. е. \[x\sin\beta = x\cos\beta\sin\alpha\operatorname{tg}\gamma \quad\Leftrightarrow\quad \operatorname{tg}\beta = \sin\alpha\,\operatorname{tg}\gamma.\] При выполнении этого равенства центр тяжести конусов остаётся на одной высоте при их перемещении по дощечкам, и конусы находятся в положении безразличного равновесия — в любом положении.

Если \(\operatorname{tg}\beta < \sin\alpha\,\operatorname{tg}\gamma\), то перемещение конусов по дощечкам вверх приводит к понижению их центра тяжести, и конусы движутся вверх. Если выполнено обратное неравенство \(\operatorname{tg}\beta > \sin\alpha\,\operatorname{tg}\gamma\), то перемещение вверх приводит к подъёму центра тяжести, и конусы спускаются вниз.

Подсказка

Сначала сравните, как меняется гидростатическое давление у дна при нагревании воды в цилиндрическом сосуде, где уровень растёт именно так, чтобы давление не менялось. Затем выясните, как изменится давление в перевёрнутом конусе.

Ответ

Уровень воды в цилиндрическом сосуде понизится.

Решение

Изменением размеров сосуда при нагревании можно пренебречь, так как коэффициент теплового расширения стекла много меньше коэффициента теплового расширения воды.

Сначала рассмотрим нагревание воды в цилиндрическом сосуде. Пусть объём воды увеличился в \(n\) раз: \(V \to nV\). Площадь сечения сосуда не меняется, поэтому высота столба воды тоже увеличивается в \(n\) раз: \(h \to nh\). С другой стороны, масса воды не меняется, а объём увеличился в \(n\) раз, значит, плотность уменьшилась в \(n\) раз: \(\rho \to \rho/n\). Гидростатическое давление \(p = \rho g h\) при этом не меняется: \[p' = \frac{\rho}{n}\,g\,nh = \rho g h = p.\] Следовательно, если бы нагреваемый сосуд был цилиндрическим, уровень воды во втором колене не изменился бы.

В сосуде, представляющем собой перевёрнутый конус, давление воды уменьшается при нагревании. Плотность воды уменьшается так же, как и в цилиндрическом сосуде, а рост высоты столба воды в расширяющемся сосуде меньше, чем в цилиндрическом (вода поднимается в нём меньше, так как сечение растёт кверху). Поэтому давление у дна нагреваемого колена уменьшается, и вода во втором (ненагреваемом) сосуде опускается.

Если бы сосуд был сужающимся кверху (например, неперевёрнутый конус), ситуация была бы обратной: уровень воды в нём рос бы быстрее, чем убывала бы плотность, давление увеличивалось бы, и уровень воды в другом колене повысился бы.