ИОШ, 2024/25, отборочный этап, 10 класс

Считайте торможение равнозамедленным: при \(a = a_0\) время торможения определяется начальной скоростью, а путь — через квадрат скорости.

1) \(S = \dfrac{v^2}{2a_0} \approx 246\) м;  2) \(\tau = \dfrac{v}{a_0} \approx 22{,}2\) с.

Из законов равноускоренного движения находим время торможения \[\tau = \frac{v_0}{a_0} = 22{,}2~\text{с}\] (начальную скорость нужно, конечно, перевести в метры в секунду), а затем и тормозной путь поезда \[S = v_0\tau - \frac{a_0\tau^2}{2} = \frac{v_0^2}{2a_0} = 246~\text{м}.\]

Найдите мощность тепловыделения при стрельбе и приравняйте её к мощности, нужной для нагрева воды до кипения.

\(\tau = \dfrac{c_в\rho_в V (t_{кип} - t_0)}{n\eta q m} \approx 57\) с.

Найдём мощность тепловыделения за счёт стрельбы. За время \(\Delta t\) пулемёт совершит \(\Delta N = n\Delta t\) выстрелов. Поскольку количество теплоты, идущее на нагрев воды при каждом выстреле, равно \(q_1 = \eta q m\), то за время \(\Delta t\) на нагрев воды пойдёт количество теплоты \[\Delta Q = q_1\Delta N = n\eta q m\Delta t.\] Поэтому мощность тепловыделения в стволе пулемёта есть \[P = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = n\eta q m.\] Чтобы вода в кожухе нагрелась до кипения, в кожух должно поступить количество теплоты \[Q = c_в\rho_в V\left(t_{кип} - t_0\right).\] Это тепло выделится за такое время \(\tau\), что \(P\tau = Q\). Отсюда находим \[\tau = \frac{Q}{P} = \frac{c_в\rho_в V\left(t_{кип} - t_0\right)}{n\eta q m} = 57~\text{с}.\]

Угол \(ABC\) прямой, поэтому точка \(B\) видит отрезок \(MN\) под прямым углом. Какой геометрической кривой тогда движется \(B\)?

\(v = \dfrac{\omega l}{2}\), \(a = \dfrac{\omega^2 l}{2}\); скорость направлена по касательной к окружности, т.е. под углом \(30^\circ\) к стержню \(AB\); ускорение направлено к центру окружности, т.е. между стержнями под углом \(60^\circ\) к стержню \(AB\) и под углом \(30^\circ\) к стержню \(BC\).

Поскольку угол \(ABC\) — прямой, и две точки угла \(ABC\) в любой момент времени проходят через точки \(M\) и \(N\), по теореме об угле, опирающемся на диаметр окружности, заключаем, что точка \(B\) движется с постоянной угловой скоростью \(\omega\) по окружности, диаметром которой является отрезок \(MN\). Радиус этой окружности равен \(l/2\). Поэтому скорость \(v\) и ускорение \(a\) точки \(B\) не меняются по величине и равны \[v = \frac{\omega l}{2}, \qquad a = \frac{\omega^2 l}{2}.\] От угла \(\alpha\) значения скорости и ускорения не зависят. Вектор скорости точки \(B\) направлен по касательной к окружности, т.е. под углом \(30^\circ\) к стержню \(AB\). Вектор ускорения — к центру окружности, т.е. между стержнями под углом \(60^\circ\) к стержню \(AB\) и под углом \(30^\circ\) к стержню \(BC\).

Если бы вольтметр был идеальным, показания при подключении к 1–2 и 1–5 различались бы ровно в 4 раза. Этого нет, значит, вольтметр имеет конечное сопротивление \(R\). Найдите отношение \(r/R\) и используйте его для точек 1–3.

\(U_{13} \approx 1{,}87\) В.

Если бы вольтметр был идеальным (т.е. имел бы бесконечно большое сопротивление), то его показания при подключении к любым точкам цепи не искажали бы цепь, и потому его показания при подключении к точкам 1–2 отличались бы от его показаний при подключении к точкам 1–5 ровно в 4 раза. В условии это не так. Значит, вольтметр не идеален, т.е. имеет конечное сопротивление. Найдём отношение сопротивления резистора к сопротивлению вольтметра.

Пусть напряжение источника равно \(U\). Поскольку источник идеален, то в первом случае вольтметр показывает напряжение источника. Значит, \(U = U_{15}\).

Найдём показания вольтметра, когда он подключен к точкам 1–2. Общее сопротивление цепи в этом случае \[R_{об} = 3r + \frac{rR}{r+R},\] где \(r\) — сопротивление резистора, \(R\) — сопротивление вольтметра. Поэтому ток в цепи равен \[I = \frac{U}{3r + \dfrac{rR}{r+R}}.\] Ток \(I_V\) через вольтметр и напряжение \(U_{12}\) на вольтметре (т.е. собственно его показания) найдём по правилам параллельного соединения: \[I_V = \frac{r}{r+R}\,I = \frac{U}{4R+3r}, \qquad U_{12} = I_V R = \frac{UR}{4R+3r}.\] Отсюда находим, что \[\frac{U_{15}}{U_{12}} = \frac{4R+3r}{R} = 4 + 3\frac{r}{R},\] и, следовательно, отношение сопротивлений резистора и вольтметра равно \[\frac{r}{R} = \frac{1}{3}\left(\frac{U_{15}}{U_{12}} - 4\right). \tag{*}\] Аналогично действуем, когда вольтметр подключён к точкам 1–3: \[R_{об,1} = 2r + \frac{2rR}{2r+R}, \qquad I_1 = \frac{U}{2r + \dfrac{2rR}{2r+R}}, \qquad I_{V,1} = \frac{2r}{2r+R}\,I_1 = \frac{U}{2R+2r},\] \[U_{13} = I_{V,1}R = \frac{UR}{2R+2r} = \frac{U}{2 + 2\dfrac{r}{R}}.\] Подставляя сюда отношение сопротивлений из (*) и учитывая, что \(U = U_{15}\), получим \[U_{13} = \frac{3U_{15}U_{12}}{2\left(U_{15} - U_{12}\right)} = 1{,}87~\text{В}.\]

Запишите тепловой баланс камбуза в обоих случаях: теплоотдача пропорциональна разности температур с общим коэффициентом, и отношение двух равенств исключает этот коэффициент.

\(t_0 = 4^\circ\)C.

Пусть температура за бортом равна \(t_0\), все источники тепла, работающие на камбузе до включения дополнительной плиты, выделяют в единицу времени количество теплоты \(Q\). Тогда количество теплоты, которое уходит в единицу времени из камбуза в окружающее пространство при установившейся температуре, равно \(Q\). Используя закон Ньютона–Рихмана, получим \[Q = k\left(t - t_0\right), \tag{*}\] где \(k\) — коэффициент пропорциональности, который связан с геометрией стен и их теплопроводящими свойствами (но не зависящий от разности температур воздуха в камбузе и воздуха за бортом). Когда на камбузе включили дополнительную плиту, мощность которой составляет одну четверть мощности всех источников тепла, работавших до этого, потери тепла должны составить \(\frac{5}{4}Q\). Поэтому уравнение теплового баланса даёт \[\frac{5}{4}Q = k\left(t_1 - t_0\right), \tag{**}\] где \(k\) — тот же самый коэффициент, что и в формуле (*). Деля (*) на (**), получим \[\frac{t - t_0}{t_1 - t_0} = \frac{4}{5}.\] Решая это уравнение, найдём \[t_0 = 5t - 4t_1 = 4^\circ\text{C}.\]

Для лёгкого контейнера из условия сил следует, что он погружён очень мало. Где приложена сила Архимеда и как она зависит от угла наклона?

Условиями равновесия контейнера являются утверждения, что сумма сил и сумма моментов всех сил, действующих на контейнер, равны нулю. Поскольку контейнер лёгкий, из условия сил заключаем, что он будет погружён в воду на очень маленькую часть своего объёма. Из-за утяжелителя, масса которого сравнима с массой контейнера, суммарная сила тяжести, действующая на контейнер, будет приложена гораздо правее (см. рисунок в условии) середины контейнера. И чтобы удовлетворить условию моментов, точка приложения силы Архимеда должна быть существенно сдвинута направо по сравнению с серединой контейнера. Сила Архимеда приложена к центру тяжести погружённой в воду части контейнера. Поэтому при наклоне на угол \[\alpha \approx \arcsin\left(\frac{d}{l}\right) \tag{*}\] (\(d\) — глубина погружения контейнера, \(l\) — его ширина) сдвиг точки приложения силы Архимеда будет равен по порядку величины размерам контейнера, каким он и должен быть для выполнения условия моментов (второго условия равновесия). Но поскольку отношение \(d/l \ll 1\), то угол наклона контейнера \(\alpha\) будет очень маленьким.

Если же в контейнер налита вода, и контейнер погружён в воду на значительную глубину, для сдвига точки приложения силы Архимеда на величину, сравнимую с размерами контейнера, нужно наклонить контейнер на значительный угол, как следует из формулы (*). Именно поэтому контейнер с водой сильно наклонится.