ИОШ, 2024/25, отборочный этап, 9 класс

Механическая мощность двигателя равна \(Fv\). Какая доля электрической мощности батареи в неё переходит?

\(I = \dfrac{Fv}{\eta U} = 125\text{ А}\).

Механическая мощность двигателя \(N = Fv\) (здесь \(F\) — сила тяги, \(v\) — скорость катера) составляет долю \(\eta\) от мощности, которую развивает источник тока: \(P = UI\), где \(U\) — напряжение батареи, \(I\) — сила тока в обмотке двигателя. Имеем \[\eta = \frac{Fv}{UI}.\] Отсюда сила тока в обмотке электродвигателя \[I = \frac{Fv}{\eta U} = 125\text{ А}.\]

Сколько теплоты выделяется за одну секунду стрельбы? Сколько теплоты нужно, чтобы нагреть всю воду в кожухе от \(t_0\) до \(t_{\text{кип}}\)?

\(t = \dfrac{c_{\text{в}}\rho_{\text{в}} V (t_{\text{кип}} - t_0)}{n\,\eta\,q\,m} \approx 57\text{ с}\).

За время \(t\) пулемёт совершит \(N = nt\) выстрелов. На нагрев воды при каждом выстреле идёт количество теплоты \(Q_1 = \eta q m\), поэтому за время \(t\) на нагрев воды пойдёт \[Q = \eta q m\, N = \eta q m n t.\] Значит, мощность тепловыделения в стволе пулемёта равна \[P = \frac{Q}{t} = \eta q m n.\] Чтобы вода в кожухе нагрелась до кипения, в кожух должно поступить количество теплоты \[Q' = c_{\text{в}}\rho_{\text{в}} V (t_{\text{кип}} - t_0).\] Это тепло выделится за время \(\tau\), такое что \(P\tau = Q'\). Отсюда \[\tau = \frac{c_{\text{в}}\rho_{\text{в}} V (t_{\text{кип}} - t_0)}{\eta q m n} \approx 57\text{ с}.\]

Что при выпаривании не меняется: масса растворённой соли или масса воды? Выразите массу раствора после возвращения через исходную массу \(m\).

\(C = 0{,}5\).

Пусть масса раствора в стакане \(m\), исходная концентрация соли — \(C\). Из стакана взяли \(m/3\) раствора и выпарили его так, чтобы концентрация соли в нём удвоилась. Так как выпаривалась только вода, для удвоения концентрации этой порции раствора её общая масса должна стать вдвое меньше: \(m/6\). Значит, в стакан вернулась порция массой \(m/6\), а в стакане осталось \(2m/3\) раствора. Общая масса раствора после возвращения стала равна \[\frac{2m}{3} + \frac{m}{6} = \frac{5m}{6}.\] Масса соли в растворе не изменилась: до выпаривания она равнялась \(Cm\), и после него осталась такой же. Поэтому новая концентрация соли в стакане равна \[\frac{Cm}{5m/6} = \frac{6C}{5} = C + 0{,}1.\] Отсюда \(C = 0{,}5\).

Разбейте нагрев на интервалы из таблицы. На каждом интервале объём умножается на \((1 + \beta\,\Delta T)\). Можно ли перемножить эти множители и отбросить малые произведения?

\(\dfrac{V_{100}}{V_{10}} \approx 1{,}04\) (по формуле с приближением получается \(1{,}0405\); без приближения — \(1{,}0409\)).

Пусть объём воды при температуре \(10\,^\circ\text{C}\) равен \(V_1\). Тогда объём \(V_2\) при температуре \(20\,^\circ\text{C}\) равен \[V_2 = V_1\left(1 + \beta_1\Delta T_1\right),\] где \(\beta_1\) — коэффициент объёмного расширения воды в интервале \(10\)–\(20\,^\circ\text{C}\), \(\Delta T_1 = 10\,^\circ\text{C}\). Аналогично для следующих интервалов: \[V_3 = V_2\left(1 + \beta_2\Delta T_2\right), \quad V_4 = V_3\left(1 + \beta_3\Delta T_3\right), \quad V_5 = V_4\left(1 + \beta_4\Delta T_4\right),\] где \(\Delta T_2 = 20\,^\circ\text{C}\) (интервал \(20\)–\(40\,^\circ\text{C}\)), \(\Delta T_3 = 20\,^\circ\text{C}\) (\(40\)–\(60\,^\circ\text{C}\)), \(\Delta T_4 = 40\,^\circ\text{C}\) (\(60\)–\(100\,^\circ\text{C}\)). Раскрывая скобки и учитывая, что все \(\beta\Delta T\) малы, их произведениями пренебрегаем: \[\frac{V_5}{V_1} \approx 1 + \beta_1\Delta T_1 + \beta_2\Delta T_2 + \beta_3\Delta T_3 + \beta_4\Delta T_4 .\] Подставляя данные таблицы, получаем \(\dfrac{V_5}{V_1} \approx 1{,}0405\). Без приближения, по формуле с перемножением, получается \(1{,}0409\). Итак, объём воды возрастёт примерно в \(1{,}04\) раза.

В установившемся режиме тепло, выделяемое плитами и батареями, полностью уходит наружу. Запишите это для двух режимов и поделите одно уравнение на другое — коэффициент теплоотдачи сократится.

\(t_0 = 4\,^\circ\text{C}\).

Пусть температура за бортом равна \(t_0\), а все источники тепла, работающие в камбузе до включения дополнительной плиты, выделяют в единицу времени количество теплоты \(Q\). В установившемся режиме столько же теплоты в единицу времени уходит из камбуза в окружающее пространство. По закону Ньютона–Рихмана \[Q = k(t - t_0),\] где \(k\) — коэффициент, связанный с геометрией стен и их теплопроводящими свойствами (он не зависит от разности температур воздуха в камбузе и за бортом).

Когда включили дополнительную плиту, мощность которой составляет одну четверть мощности всех прежних источников, тепловые потери должны составить \(\frac{5}{4}Q\). Уравнение теплового баланса даёт \[\frac{5}{4}Q = k(t_1 - t_0),\] где \(k\) — тот же коэффициент. Деля первое уравнение на второе, получим \[\frac{4}{5} = \frac{t - t_0}{t_1 - t_0}.\] Решая его, находим \[t_0 = 5t - 4t_1 = 5 \cdot 16\,^\circ\text{C} - 4 \cdot 19\,^\circ\text{C} = 4\,^\circ\text{C}.\]

Перейдите в систему отсчёта, движущуюся вправо, где скорости ползунов станут равными по величине. Что тогда можно сказать о направлении движения центрального шарнира?

\(v_{\text{ш}} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}\,v\); направлена вправо-вниз под углом \(\alpha = \operatorname{arctg}\dfrac{1}{3}\) к вертикали.

Перейдём в систему отсчёта, которая движется вправо со скоростью \(v/2\). В ней скорости ползунов одинаковы по величине и равны \(\frac{3}{2}v\), а векторы направлены противоположно. Поэтому в этой системе центральный шарнир может двигаться только вертикально вниз. Его скорость найдём из условия нерастяжимости стержней: проекции скоростей концов стержня на сам стержень одинаковы. Поскольку стержни направлены под углом \(45^\circ\) к горизонту, скорость центрального шарнира в этой системе направлена вертикально вниз и равна \[v'_{\text{ш}} = \frac{3}{2}v.\] Скорость этого шарнира в системе отсчёта, связанной с землёй, найдём по закону сложения скоростей \[\vec v_{\text{ш.о.з}} = \vec v_{\text{ш.о.с}} + \vec v_{\text{с.о.з}},\] где \(\vec v_{\text{ш.о.з}}\) — искомая скорость шарнира относительно земли, \(\vec v_{\text{ш.о.с}}\) — его скорость в системе отсчёта, движущейся вправо со скоростью \(v/2\), \(\vec v_{\text{с.о.з}}\) — скорость этой системы относительно земли. Треугольник сложения скоростей показан на рисунке; здесь \(v_{\text{ш.о.с}} = \frac{3}{2}v\), \(v_{\text{с.о.з}} = \frac{v}{2}\). Поэтому \[v_{\text{ш.о.з}} = \sqrt{\left(\frac{3v}{2}\right)^2 + \left(\frac{v}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{10}}{2}\,v,\] и направлена вправо-вниз под углом \[\alpha = \operatorname{arctg}\frac{1}{3}\] к вертикали.