ИОШ, 2024/25, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Запишите условие равновесия рычага до переливания и после него. При переливании меняются и массы воды в стаканах, и плечи стаканов.

Ответ

\(m_1 + m_2 = l\,\Delta m/\Delta l\).

Решение

Пусть масса воды в одном стакане равна \(m_1\), во втором — \(m_2\). Тогда условие равновесия рычага в первом случае даёт \[m_1 g l_1 = m_2 g l_2,\] где \(l_1\) и \(l_2\) — плечи стаканов. Пусть теперь из стакана с массой воды \(m_1\) в стакан с массой воды \(m_2\) переливают массу воды \(\Delta m\). Тогда стакан с водой массой \(m_2\) перевесит, и для восстановления равновесия рычага его опору нужно передвинуть в направлении именно этого стакана. Следовательно, плечо этого стакана станет равным \(l_2 - \Delta l\), а второго стакана — \(l_1 + \Delta l\). В результате условие равновесия рычага во втором случае даёт \[(m_1 - \Delta m)(l_1 + \Delta l) = (m_2 + \Delta m)(l_2 - \Delta l).\] Из этого уравнения находим суммарную массу воды в стаканах: \[m_1 + m_2 = \frac{l_1 + l_2}{\Delta l}\,\Delta m = \frac{l}{\Delta l}\,\Delta m.\]

Подсказка

Сравните давления гелия над поршнем и под ним в конечном состоянии. Что можно сказать о давлении идеального газа, если известна его концентрация и температура?

Ответ

\(h' = \dfrac{3}{4}\,h\).

Решение

Пусть количество вещества гелия равно \(\nu\). Тогда количество вещества кислорода равно \(3\nu\), а условие равновесия поршня в начальном состоянии даёт \[\frac{mg}{S} = p_{к} - p_{г} = \frac{3\nu RT}{V/2} - \frac{\nu RT}{V/2} = \frac{4\nu RT}{V}, \qquad (*)\] где \(m\) — масса поршня, \(S\) — площадь сечения сосуда, \(p_{к}\) и \(p_{г}\) — давления кислорода и гелия в начальном состоянии, \(V\) — объем сосуда, \(T\) — температура газов (здесь использовано уравнение Клапейрона–Менделеева для кислорода и гелия в начальном состоянии).

После того, как гелий распространится по всему сосуду, давление газа в нижнем отсеке будет складываться из парциальных давлений кислорода и гелия, в верхнем отсеке будет только гелий, и только он и будет оказывать давление на поршень. Но поскольку гелий распределится по сосуду равномерно, его концентрация в верхнем и в нижнем отсеках будет одинакова независимо от положения поршня. А так как давление идеального газа определяется только его концентрацией и температурой, давление гелия на поршень сверху и снизу будет одинаковым. Поэтому из условия равновесия поршня в конечном состоянии гелий можно исключить, и тогда оно дает \[\frac{mg}{S} = p'_{к},\] где \(p'_{к}\) — парциальное давление кислорода в конечном состоянии. Поскольку для парциального давления справедлив закон Клапейрона–Менделеева, получим \[\frac{mg}{S} = p'_{к} = \frac{3\nu RT}{V'}. \qquad (**)\] Деля уравнения (*) и (**) друг на друга, найдем, как изменяется объем кислорода и высота расположения поршня в сосуде в конечном состоянии: \[V' = \frac{3}{4}V \quad\Rightarrow\quad h' = \frac{3}{4}\,h.\]

Подсказка

Сначала определите, какой из амперметров показывает больший ток, и расставьте токи во всех ветвях через один неизвестный ток. Затем запишите уравнения для двух замкнутых контуров.

Ответ

1) \(U_1 = 2\) В (вольтметр \(V_1\));  2) \(U_2 = 1{,}8\) В (вольтметр \(V_2\));  3) \(U_3 = 0{,}8\) В (вольтметр \(V_3\)).

Решение

Поскольку сопротивление амперметра меньше сопротивления вольтметра, ток через амперметр \(A_1\) должен быть больше тока через вольтметр \(V_3\). Поэтому ток через мостиковый амперметр течет вверх и, сложившись с током, текущим через вольтметр \(V_1\), даст больший ток через амперметр \(A_2\), чем через амперметр \(A_1\). Значит, ток \(3I\) течет через амперметр \(A_2\), ток \(I\) — через амперметр \(A_1\).

Далее. Пусть через вольтметр \(V_2\) течет ток \(x\). Тогда легко найти токи, текущие через все электроизмерительные приборы (см. рисунок). Поскольку \(V_1\), \(A_1\) и \(V_2\) образуют замкнутый контур, напряжение на вольтметре \(V_1\) равно сумме напряжений на вольтметре \(V_2\) и амперметре \(A_1\). Поэтому из закона Ома для участка цепи имеем \[2IR = Ir + xR,\] где \(R\) — сопротивление вольтметра, \(r\) — сопротивление амперметра. Аналогично для замкнутого контура, образованного амперметрами \(A_1\) и \(A_2\) и вольтметром \(V_3\): \[4Ir = (x - I)\,R.\]

Если разделить каждое из уравнений на \(r\), можно получить систему двух уравнений относительно двух неизвестных — \(x\) и \(y = R/r\): \[\begin{cases} 2yI = I + xy, \\ 4I = y\,(x - I). \end{cases}\] Решая эту систему, получим \(x = \dfrac{9}{5}\,I\), \(y = \dfrac{R}{r} = 5\).

Отсюда находим, что токи, текущие через вольтметры \(V_2\) и \(V_3\) (и, следовательно, и напряжения на них), отличаются в 9/4 раза. А поскольку их сумма равна напряжению источника \(U_0\), то \[U_2 = \frac{9}{13}\,U_0 = 1{,}8~\text{В}, \qquad U_3 = \frac{4}{13}\,U_0 = 0{,}8~\text{В}.\] Показания вольтметра \(V_1\) можно найти так. Так как сопротивление вольтметра в 5 раз больше сопротивления амперметра, а ток, текущий через вольтметр \(V_1\), составляет две трети от тока, текущего через амперметр \(A_2\), напряжение на вольтметре \(V_1\) в 10/3 раза больше напряжения на амперметре \(A_2\). А поскольку сумма этих напряжений равна напряжению источника \(U_0\), то \[U_1 = \frac{10}{13}\,U_0 = 2~\text{В}.\]

Подсказка

Тепло идет от более горячих отсеков к более холодным, и поток на каждой перегородке записывается через одну и ту же константу. Составьте уравнения теплового баланса для самого горячего, самого холодного и промежуточного отсеков.

Ответ

Температура воды в отсеке с самой холодной водой увеличится на \(\Delta t_x = 1{,}6~^\circ\text{C}\), в отсеке со средней температурой — на \(\Delta t_{\text{ср}} = 0{,}4~^\circ\text{C}\).

Решение

Так как площади контактов между всеми отсеками сосуда одинаковы, а перегородки изготовлены из одного и того же материала и имеют одинаковую толщину, для потока тепла \(Q\) от любого более горячего отсека к любому более холодному можно написать \[Q = k\,(t_x - t_y),\] где \(k\) — одинаковый для всех отсеков коэффициент пропорциональности, \(t_x\) и \(t_y\) — температуры более горячей и более холодной воды. Далее, поскольку изменение температур воды во всех отсеках гораздо меньше разности температур воды в отсеках, можно считать, что поток в рассматриваемых процессах практически не изменяется. Поэтому уравнение теплового баланса для остывания воды в горячем отсеке имеем \[2cm\,\Delta t = k\,(t_1 - t_2) + k\,(t_1 - t_3),\] где \(c\) — удельная теплоемкость воды, \(2m\) — масса воды в самом горячем отсеке. Уравнение теплового баланса для нагревания воды в самом холодном отсеке дает \[cm\,\Delta t_x = k\,(t_1 - t_2) + k\,(t_3 - t_2),\] где \(\Delta t_x > 0\) — увеличение температуры воды в отсеке с самой холодной водой. Здесь учтено, что масса воды в отсеке с холодной водой вдвое меньше массы воды в отсеке с горячей водой.

Отсек с водой промежуточной температуры будет получать тепло от отсека с горячей водой и отдавать тепло отсеку с холодной водой. Но поскольку (как это следует из условия) \[t_1 - t_3 > t_3 - t_2,\] то отсек со средней температурой больше получает, чем отдает тепла, и, следовательно, вода в нем нагреется. Поэтому уравнение теплового баланса для нагрева воды в этом отсеке имеем \[cm\,\Delta t_{\text{ср}} = k\,(t_1 - t_3) - k\,(t_3 - t_2),\] где \(\Delta t_{\text{ср}} > 0\) — увеличение температуры воды со средней температурой. Выражая коэффициент \(k\) из уравнения для горячего отсека и подставляя его в два других уравнения, получим \[\Delta t_x = \frac{2\,(t_1 + t_3 - 2t_2)}{2t_1 - t_2 - t_3}\,\Delta t = 1{,}6~^\circ\text{C}, \qquad \Delta t_{\text{ср}} = \frac{2\,(t_1 + t_2 - 2t_3)}{2t_1 - t_2 - t_3}\,\Delta t = 0{,}4~^\circ\text{C}.\]

Подсказка

Сила трения, действующая со стороны тележки на стержень, стремится поставить стержень «в распор» и увеличивает силу реакции. Сравните сдвигающую силу \(F\) с максимальной силой трения покоя между стержнем и тележкой.

Ответ

1) тележка сдвинется вправо;  2) \(\mu > \text{ctg}\,\alpha = 0{,}577\).

Решение

Основная идея задачи заключается в том, что между стержнем и тележкой может возникнуть эффект заклинивания. Действительно, при попытке вытянуть тележку сила трения, действующая со стороны тележки на стержень, будет пытаться поставить стержень «в распор» между потолком и тележкой. Это приведет к увеличению силы реакции между стержнем и тележкой, т.е. к увеличению максимальной силы трения, которая действует со стороны тележки на стержень и со стороны стержня на тележку. Последняя сила и не позволит вытянуть тележку, если будет возрастать с ростом \(F\) быстрее, чем сама сила \(F\). Поэтому найдем максимальную силу трения между тележкой и стержнем (при условии, что тележка находится в покое) и исследуем ее зависимость от силы \(F\).

Итак, рассмотрим случай малых сил \(F\), когда тележка заведомо покоится, и найдем силу трения. На стержень действуют сила тяжести, сила реакции тележки, сила трения (которая в случае покоя тележки равна внешней силе \(F\)) и сила реакции шарнира. Условие моментов относительно шарнира дает \[N l\cos\alpha - mg\,\frac{l}{2}\cos\alpha - F l\sin\alpha = 0.\]

Откуда находим максимальную силу трения между тележкой и стержнем: \[F_{\text{тр}}^{\max} = \mu N = \mu\left(\frac{1}{2}mg + F\,\text{tg}\,\alpha\right).\] При малых значениях силы \(F\) главным слагаемым в скобках будет первое, и потому даже при небольших коэффициентах трения будет выполнено неравенство \(F_{\text{тр}}^{\max} > F\), и, следовательно, тележка будет находиться в покое. При увеличении силы \(F\) максимальная сила трения будет увеличиваться, но будет расти и «сдвигающая» тележку сила \(F\). Поэтому для ответа на вопрос о движении тележки нужно сравнить \(F_{\text{тр}}^{\max}\) и \(F\): \[F_{\text{тр}}^{\max} \gtrless F,\] где \(\gtrless\) — знак сравнения (т.е. неравенство, неизвестно куда развернутое). Итак, для ответа на вопрос о покое или движении тележки нужно провести сравнение \[\mu\left(\frac{1}{2}mg + F\,\text{tg}\,\alpha\right) \gtrless F,\] или \[\frac{1}{2}\mu mg \gtrless F\,(1 - \mu\,\text{tg}\,\alpha). \qquad (*)\] Если левая часть больше правой, тележка покоится, если меньше, движется. Подставляя сюда данные в условии значения, находим \[\frac{1}{2}\mu mg = 10~\text{Н}, \qquad F\,(1 - \mu\,\text{tg}\,\alpha) = 16{,}4~\text{Н}.\] Значит, тележка будет двигаться.

Из сравнения (*) следует, что если \(1 - \mu\,\text{tg}\,\alpha < 0\), левая часть сравнения будет больше правой при любых значениях силы \(F\). Т.е. в этом случае и наступает заклинивание. Таким образом, тележка не сдвинется ни при каких значениях силы \(F\), если \[\mu > \text{ctg}\,\alpha = 0{,}577.\]

Подсказка

Силы реакции перпендикулярны граням клина. Найдите точку пересечения их направлений: она лежит на одной вертикали с центром тяжести клина.

Ответ

1) \(\varphi = \alpha\);  2) \(N_1 = mg\sin\alpha\), \(N_2 = mg\cos\alpha\).

Решение

Первый способ решения. На клин действуют сила тяжести \(m\vec g\) и две силы реакции \(\vec N_1\) и \(\vec N_2\) со стороны уступов (см. рисунок), при этом силы реакции перпендикулярны соответствующим граням клина, поскольку все грани гладкие. Для клина выполнены два условия равновесия — сумма этих сил и сумма их моментов равны нулю, причем моменты можно вычислять относительно любой точки.

Далее. Момент силы тяжести, действующей на клин, равен нулю относительно любой точки, лежащей на вертикальной прямой, проходящей через центр тяжести клина. А так как силы реакции перпендикулярны упорам, то их суммарный момент равен нулю относительно точки пересечения двух прямых, перпендикулярных граням клина и проходящих через точки касания клина и уступов. Следовательно, точка пересечения этих прямых лежит на одной вертикальной прямой с центром тяжести клина.

Поскольку центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан, то если из центра тяжести прямоугольного треугольника опустить перпендикуляры на катеты и соединить получившиеся точки, то (1) получится треугольник, подобный прямоугольному треугольнику, (2) длина проведенного отрезка будет равна одной трети длины гипотенузы прямоугольного треугольника. Докажем это. Пусть в треугольнике \(ABC\) точка \(O\) является центром тяжести. Опустим из точки \(O\) перпендикуляры \(OM\) и \(ON\) на катеты и соединим их основания отрезком \(MN\). Так как \(BD\) и \(AE\) — медианы, то отрезки \(DC\) и \(BC\) равны половинам соответствующих катетов прямоугольного треугольника, а так как точка пересечения медиан делит каждую в отношении 2 к 1, считая от вершины, то отрезки \(MC\) и \(NC\) равны двум третьим частям отрезков \(DC\) и \(BC\), т.е. одной третьей части соответствующих катетов. Поэтому треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(MNC\) с коэффициентом подобия 3. Следовательно, отрезок \(MN\) параллелен основанию \(AB\) и \(MN = \tfrac{1}{3}AB\).

Вернемся к равновесию клина. Если опустить из центра тяжести клина перпендикуляры на катеты \(O1'\) и \(O2'\), то отрезок \(1'2'\) должен быть параллелен отрезку \(12\) (из подобия треугольников \(12C\) и \(1'2'C\)). А с другой стороны он должен быть параллелен гипотенузе клина и иметь длину, равную одной трети гипотенузы. А это значит, что в равновесии гипотенуза клина должна располагаться горизонтально, а силы реакции должны проходить через центр тяжести клина. Отсюда следует, что в равновесии \[\varphi = \alpha, \qquad N_1 = mg\sin\alpha, \qquad N_2 = mg\cos\alpha.\]

Второй способ решения. Положению равновесия отвечает минимум потенциальной энергии клина, которую можно найти как \(mgh\), где \(m\) — масса клина, \(h\) — высота расположения центра тяжести клина над некоторым произвольным уровнем. Найдем положение центра тяжести клина над уровнем уступов.

Поскольку угол \(C\) прямой (С — вершина прямого угла клина), то точка \(C\) в любом положении клина находится на окружности с диаметром \(12\), т.е. на окружности радиуса \(l/6\) (где \(l = AB\) — длина гипотенузы клина) с центром в точке \(K\), лежащей посередине между уступами. При этом \(\angle KC2 = \varphi\) (как вертикальный с \(\angle A2Y\)). Поэтому \(\angle 2CX = \varphi\) (как внутренний накрест лежащий с \(\angle A2Y\)), и \(\angle KCX = \varphi\), поскольку треугольник \(KC2\) равнобедренный. Это значит, что \(\angle KCX = 2\varphi\), и вершина клина \(C\) лежит ниже уровня уступов на высоту \[KC\sin 2\varphi = \frac{l}{6}\sin 2\varphi.\] Далее. Центр тяжести клина лежит в точке пересечения медиан. А поскольку медиана, проведенная из вершины прямого угла, составляет половину гипотенузы, а точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, то центр тяжести клина (точка \(O\)) лежит на расстоянии \(l/3\) от точки \(C\). Так как \(\angle OCX = \alpha + \varphi\) (поскольку \(\angle OCA = \angle OAC\), так как треугольник \(OCA\) равнобедренный), то центр тяжести клина лежит выше уровня вершины \(C\) на высоту \(OC\sin(\alpha+\varphi) = \dfrac{l}{3}\sin(\alpha+\varphi)\). Отсюда следует, что центр тяжести клина лежит выше уровня уступов 1–2 на высоту \[h = \frac{l}{3}\sin(\alpha+\varphi) - \frac{l}{6}\sin 2\varphi.\] Найдем минимум этого выражения как функции угла \(\varphi\). Дифференцируя эту функцию по \(\varphi\) и приравнивая производную к нулю, получим \[\cos(\alpha+\varphi) - \cos 2\varphi = 0.\] Откуда для острого и положительного \(\varphi\) находим \(\varphi = \alpha\). Далее все как в первом способе решения.