ИОШ, 2024/25, заключительный этап, 9 класс

Запишите условие равновесия рычага до переливания и после него. При переливании меняются и массы воды в стаканах, и плечи стаканов.

\(m_1 + m_2 = l\,\Delta m/\Delta l\).

Пусть масса воды в одном стакане равна \(m_1\), во втором — \(m_2\). Тогда условие равновесия рычага в первом случае даёт \[m_1 g l_1 = m_2 g l_2,\] где \(l_1\) и \(l_2\) — плечи стаканов. Пусть теперь из стакана с массой воды \(m_1\) в стакан с массой воды \(m_2\) переливают массу воды \(\Delta m\). Тогда стакан с водой массой \(m_2\) перевесит, и для восстановления равновесия рычага его опору нужно передвинуть в направлении именно этого стакана. Следовательно, плечо силы тяжести этого стакана станет равным \(l_2 - \Delta l\), а второго стакана — \(l_1 + \Delta l\). В результате условие равновесия рычага во втором случае даёт \[(m_1 - \Delta m)(l_1 + \Delta l) = (m_2 + \Delta m)(l_2 - \Delta l).\] Из этого уравнения находим суммарную массу воды в стаканах: \[m_1 + m_2 = \frac{l_1 + l_2}{\Delta l}\,\Delta m = \frac{l}{\Delta l}\,\Delta m.\]

При медленном подъеме натяжение веревки, охватывающей подвижный блок, равно половине силы тяжести груза. Сравните моменты сил натяжения относительно оси блока. Для второго пункта сравните длины веревки, которые сматываются и наматываются.

1) \(F = mg/6\), выигрыш в силе — шестикратный;  2) \(l = 6h\).

Чтобы груз медленно поднимался, сила натяжения веревки, охватывающей подвижный блок, должна быть равна половине силы тяжести груза. Поэтому на самый маленький и средний блоки дифференциального блока действуют силы натяжения \(mg/2\) и \(mg/2\). Это значит, что чтобы дифференциальный блок вращался по часовой стрелке и поднимал груз, момент силы \(F\) относительно центра дифференциального блока должен быть равен разности моментов сил натяжения, действующих на средний и малый блоки: \[F\cdot 3R = \frac{mg}{2}\cdot 2R - \frac{mg}{2}\cdot R,\] или \[F = \frac{mg}{6}.\] Таким образом, предлагаемая конструкция дает шестикратный выигрыш в силе.

Найдем теперь, сколько мы проиграем в расстоянии. Пусть сила \(F\) вытянула кусочек веревки длиной \(\Delta l\). Тогда дифференциальный блок повернется на угол \[\Delta\varphi = \frac{\Delta l}{3R}.\] Это значит, что с меньшего блока смотается кусочек веревки длиной \(R\,\Delta\varphi\), на средний блок намотается кусочек веревки длиной \(2R\,\Delta\varphi\). Т.е. длина веревки, охватывающей подвижный блок, уменьшится на величину \(2R\,\Delta\varphi - R\,\Delta\varphi = R\,\Delta\varphi\), и, следовательно, подвижный блок поднимется на величину \[\Delta h = \frac{R\,\Delta\varphi}{2} = \frac{\Delta l}{6}.\] Т.е. блок дает шестикратный проигрыш в расстоянии, как и должно быть в соответствии с золотым правилом механики. Это значит, что для подъема груза на высоту \(h\) нужно вытащить кусок веревки длиной \(l = 6h\).

Длина, радиус и расстояние до вершины угла меняются при нагреве одинаково — в одну и ту же долю \(\alpha\,\Delta T\). Выразите положение центра колечка через его радиус и угол.

1) \(x = x_0\,(1 + \alpha\,\Delta T)\);  2) \(\Delta x = 0{,}011~\text{мм}\).

Пусть угол между стенками равен \(\varphi\), начальный радиус колечка — \(R_0\), а его длина — \(l_0 = 2\pi R_0\). Тогда центр колечка находился на расстоянии \[x_0 = \frac{R_0}{\sin(\varphi/2)}\] от вершины угла (здесь \(\varphi\) — величина угла). При повышении температуры любого предмета (и, в частности, нашего колечка) на \(\Delta T\) его длина увеличивается по закону \[l = l_0\,(1 + \alpha\,\Delta T),\] где \(\alpha\) — коэффициент линейного теплового расширения материала предмета. Если разделить правую и левую часть на \(2\pi\), то получится аналогичное соотношение для радиуса колечка: \[R = R_0\,(1 + \alpha\,\Delta T).\] А если теперь разделить эту формулу на \(\sin(\varphi/2)\), получим аналогичное соотношение для изменения расстояния от центра колечка до вершины угла при повышении температуры: \[x = x_0\,(1 + \alpha\,\Delta T).\] Из этой формулы находим перемещение центра колечка относительно вершины угла при повышении температуры: \[\Delta x = x - x_0 = \alpha\,x_0\,\Delta T = 0{,}011~\text{мм}.\]

Открытый идеальный диод поддерживает на себе напряжение \(U_{\text{от}}\), а остаток напряжения приходится на резистор, включенный последовательно с ним. Найдите напряжение на каждом резисторе и токи в ветвях.

\(I = \dfrac{11\,U_0}{3R}\).

Вольтамперная характеристика идеального диода показывает, что если к диоду приложить положительное напряжение, превышающее напряжение открытия диода, напряжение на диоде будет равно напряжению открытия. А куда же «денется» избыток напряжения? Ток через диод будет таким, чтобы напряжение на остальных элементах цепи, включенных последовательно с диодом, было равно избытку приложенного к цепи напряжения над напряжением открытия диода. Давайте используем эти принципы для расчета данной цепи.

Так как напряжение, приложенное к цепи, больше напряжения открытия диодов, оба диода будут открыты. При этом напряжение на резисторе, включенном последовательно с диодом с напряжением открытия \(U_0\), будет равно \(3U_0\), а напряжение на резисторе, включенном последовательно с диодом с напряжением открытия \(2U_0\), будет равно \(2U_0\). Поэтому из закона Ома для участка цепи заключаем, что через первый резистор будет течь ток \[I_1 = \frac{3U_0}{R},\] а через второй резистор — ток \[I_2 = \frac{2U_0}{3R}.\] Поскольку эти элементы цепи соединены параллельно, через источник будет течь ток \(I\), равный их сумме: \[I = I_1 + I_2 = \frac{11\,U_0}{3R}.\]

Тепло идет от более горячих отсеков к более холодным, и поток на каждой перегородке записывается через одну и ту же константу. Составьте уравнения теплового баланса для самого горячего, самого холодного и промежуточного отсеков.

Температура воды в отсеке с самой холодной водой увеличится на \(\Delta t_x = 1{,}6~^\circ\text{C}\), в отсеке со средней температурой — на \(\Delta t_{\text{ср}} = 0{,}4~^\circ\text{C}\).

Пользуясь указанием к условию задачи, для потока тепла \(Q\) от любого более горячего отсека к любому более холодному можно написать \[Q = k\,(t_x - t_y),\] где \(k\) — коэффициент пропорциональности, который одинаков для всех перегородок, поскольку у них одинаковые площади, толщины и они изготовлены из одного и того же материала, \(t_x\) и \(t_y\) — температуры более горячей и более холодной воды. Далее, поскольку изменение температур воды во всех отсеках гораздо меньше разности температур воды в отсеках, можно считать, что поток в рассматриваемых процессах практически не изменяется. Поэтому можно записать уравнение теплового баланса для остывания воды в горячем отсеке в следующем виде: \[2cm\,\Delta t = k\,(t_1 - t_2) + k\,(t_1 - t_3),\] где \(c\) — удельная теплоемкость воды, \(2m\) — масса воды в самом горячем отсеке. Уравнение теплового баланса для нагревания воды в самом холодном отсеке дает \[cm\,\Delta t_x = k\,(t_1 - t_2) + k\,(t_3 - t_2),\] где \(\Delta t_x > 0\) — увеличение температуры воды в отсеке с самой холодной водой. Здесь учтено, что масса воды в отсеке с холодной водой вдвое меньше массы воды в отсеке с горячей водой.

Отсек с водой промежуточной температуры будет получать тепло от отсека с горячей водой и отдавать тепло отсеку с холодной водой. Но поскольку (как это следует из условия) \[t_1 - t_3 > t_3 - t_2,\] то отсек со средней температурой больше получает, чем отдает тепла, и, следовательно, вода в нем нагреется. В результате получаем следующее уравнение теплового баланса для нагрева воды в этом отсеке: \[cm\,\Delta t_{\text{ср}} = k\,(t_1 - t_3) - k\,(t_3 - t_2),\] где \(\Delta t_{\text{ср}} > 0\) — увеличение температуры воды со средней температурой. Выражая коэффициент \(k\) из формулы для горячего отсека и подставляя его в два других уравнения, получим \[\Delta t_x = \frac{2\,(t_1 + t_3 - 2t_2)}{2t_1 - t_2 - t_3}\,\Delta t = 1{,}6~^\circ\text{C}, \qquad \Delta t_{\text{ср}} = \frac{2\,(t_1 + t_2 - 2t_3)}{2t_1 - t_2 - t_3}\,\Delta t = 0{,}4~^\circ\text{C}.\]

Считайте, что в предельном состоянии все силы трения достигают максимума, равного \(\mu N\) для соответствующей реакции. Запишите условия равновесия каждой призмы по горизонтали и по вертикали.

\(\mu < \dfrac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

Силы, действующие на призмы, показаны на рисунке. Это — силы тяжести призм \(mg\), силы реакции пола \(N_1\), вертикальной стенки \(N_2\) и между призмами, действующие на нижнюю \(N\) и верхнюю \(N'\) призмы. А также силы трения, действующие на нижнюю \(F_{\text{тр},1}\) и верхнюю \(F_{\text{тр},2}\) призмы. В момент начала скольжения силы трения равны тем силам, которые «пытаются» вывести тела из положения равновесия, и равны своим максимальным значениям. Поэтому \[F_{\text{тр},1} = N\cos\alpha, \qquad F_{\text{тр},2} = mg - N\sin\alpha.\] А с другой стороны \[F_{\text{тр},1} = \mu N_1 = \mu\,(mg + N\sin\alpha), \qquad F_{\text{тр},2} = \mu N_2 = \mu N\cos\alpha.\] В результате получаем систему уравнений \[N\cos\alpha = \mu\,(mg + N\sin\alpha), \qquad mg - N\sin\alpha = \mu N\cos\alpha.\] Из которой получим \[\mu mg = N\,(\cos\alpha - \mu\sin\alpha), \qquad mg = N\,(\sin\alpha + \mu\cos\alpha).\] Деля эти уравнения друг на друга, получим квадратное уравнение относительно коэффициента трения, при котором начнется скольжение: \[\mu^2\cos\alpha + 2\mu\sin\alpha - \cos\alpha = 0.\] Решая это уравнение, получим для предельного коэффициента трения, при котором начнется скольжение: \[\mu = \frac{1 - \sin\alpha}{\cos\alpha}.\] Таким образом, призмы будут в покое, если коэффициент трения между призмой и полом и призмой и стеной будет удовлетворять неравенству \[\mu < \frac{1 - \sin\alpha}{\cos\alpha}.\]