ИОШ, 2025/26, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Какая длина верёвки стравливается за час при скорости 1 узел? Сколько её стравливается за одну минуту? Переводы между узлами и километрами в час связаны коэффициентом \(1{,}852\).

Ответ

Расстояние между узлами \(l \approx 30{,}87\) м; \(12\) узлов \(\approx 22{,}2\) км/ч; \(40\) км/ч \(\approx 21{,}6\) узла.

Решение

Пусть корабль движется со скоростью 1 узел — 1 морская миля в час. Тогда за час размоталась бы верёвка длиной 1852 м. За 1 минуту, время измерения скорости корабля, размотается в 60 раз меньше: \[l = \frac{1852}{60}\text{ м} \approx 30{,}87\text{ м}.\] Именно таким должно быть расстояние между узлами на лаглине.

Переводим скорости. Для 12 узлов \[v = 12\text{ уз} = 12 \cdot 1{,}852\text{ км/ч} \approx 22{,}2\text{ км/ч}.\] Обратный пересчёт для 40 км/ч: \[v = \frac{40}{1{,}852}\text{ уз} \approx 21{,}6\text{ уз}.\]

Подсказка

Какую работу совершает сила сопротивления на пути \(\Delta s\) при скорости \(v_1\) и какая энергия бензина на эту работу идёт? Коэффициент пропорциональности не меняется при переходе к скорости \(v_2\).

Ответ

\(P \approx 71{,}3\) кВт.

Решение

Сначала найдём коэффициент пропорциональности \(k\) в формуле для силы сопротивления движению автомобиля \(F = kv^2\). При движении с постоянной скоростью \(v_1\) на пути \(\Delta s\) сила сопротивления совершает работу \[A = -F_1\Delta s = -kv_1^2\Delta s,\] которую должен компенсировать двигатель автомобиля за счёт сгорания топлива. Закон сохранения энергии с учётом КПД даёт \[kv_1^2\Delta s = \Delta m\,\eta\,q \quad\Rightarrow\quad k = \frac{\Delta m\,\eta\,q}{v_1^2\,\Delta s},\] где \(\Delta m\) — расход бензина, \(\eta\) — КПД двигателя, \(q\) — удельная теплота сгорания бензина.

При движении с постоянной скоростью \(v_2\) мощность двигателя равна \[P = F_2 v_2 = kv_2^3 = \frac{\Delta m\,\eta\,q\,v_2^3}{v_1^2\,\Delta s}.\] Подставляя значения из условия (\(v_1 = 20\) м/с, \(v_2 = 30\) м/с, \(\Delta s = 1000\) м, \(\Delta m = 0{,}08\) кг), получаем \(P \approx 71{,}3\) кВт.

Подсказка

Рассмотрите сразу конечное состояние: вода в обоих калориметрах вернулась к исходному количеству, а второй калориметр отдал тепло первому. Запишите баланс для этого перехода.

Ответ

\(t_y \approx 39{,}9\,^\circ\text{C}\).

Решение

Проще всего рассматривать сразу конечное состояние калориметров. С точки зрения содержимого они вернулись к первоначальному состоянию, но температура во втором калориметре уменьшилась от \(t_2\) до \(t_x\). Поэтому второй калориметр отдал энергию \[Q = C(t_2 - t_x),\] где \(C\) — теплоёмкость калориметра вместе с водой, но без тела. Так как потерь нет, всю эту энергию получил первый калориметр. Уравнение теплового баланса для двух перекладываний тела даёт \[C(t_2 - t_x) = (C + C_0)(t_y - t_1),\] где \(C_0\) — теплоёмкость тела, \(t_y\) — искомая температура первого калориметра после возвращения в него тела. Отсюда \[t_y = t_1 + \frac{t_2 - t_x}{1 + C_0/C}.\] Отношение теплоёмкостей найдём из первого перекладывания тела из первого калориметра во второй: \[C(t_2 - t_x) = C_0(t_x - t_1) \quad\Rightarrow\quad \frac{C_0}{C} = \frac{t_2 - t_x}{t_x - t_1}.\] Подставляя, получаем \[t_y = t_1 + \frac{(t_2 - t_x)(t_x - t_1)}{t_2 - t_1} = 39{,}9\,^\circ\text{C}.\]

Подсказка

ЭДС больше напряжения открытия, значит ток пойдёт. Какое напряжение останется на резисторе? Какой ток при этом течёт через светодиод, и какую мощность он рассеивает при напряжении \(U_0\)?

Ответ

\(R_{\min} = 90\) Ом.

Решение

Так как ЭДС источника больше напряжения открытия светодиода, ток в цепи пойдёт. Значит, напряжение на светодиоде равно напряжению открытия независимо от тока в цепи. Поскольку сумма падений напряжения в цепи равна ЭДС, на резисторе напряжение \[U = \varepsilon - U_0.\] По закону Ома для резистора ток в цепи \[I = \frac{\varepsilon - U_0}{R}.\] Такой же ток течёт через светодиод, и мощность энерговыделения на нём равна \[P = U_0 I = \frac{U_0(\varepsilon - U_0)}{R}.\] Чтобы светодиод не перегорел, эта мощность не должна превышать \(P_m\): \[\frac{U_0(\varepsilon - U_0)}{R} \leqslant P_m.\] Отсюда минимальное значение сопротивления токоограничивающего резистора \[R_{\min} = \frac{U_0(\varepsilon - U_0)}{P_m} = \frac{3 \cdot 3}{0{,}1}\,\text{Ом} = 90\text{ Ом}.\]

Подсказка

Найдите мгновенный центр вращения треугольника: он лежит на перпендикулярах к сторонам, проведённых из точек опоры \(M\) и \(N\). Какая скорость у точки \(C\) относительно этого центра?

Ответ

\(v_C = \dfrac{2a\omega}{\sqrt3}\), скорость горизонтальна; \(a_C = \dfrac{2a\omega^2}{\sqrt3}\), ускорение направлено от \(C\) к центру вращения \(O\) (центростремительное).

Решение

Центр вращения треугольника — точка \(O\), лежащая на пересечении перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых в точках \(M\) и \(N\).

Поскольку \(\angle OCN = 30^\circ\), из треугольника \(OCN\) находим \[ON = \frac{a}{\sqrt3}, \qquad OC = \frac{2a}{\sqrt3}.\] Отсюда скорости точек \(M\), \(N\) и \(C\): \[v_{M,N} = \omega\cdot OM = \frac{a\omega}{\sqrt3}, \qquad v_C = \omega\cdot OC = \frac{2a\omega}{\sqrt3}.\] Проверка по «условию палочки»: скорость точки \(C\) направлена горизонтально, скорость точки \(M\) — вдоль стороны треугольника, и должно выполняться \(v_M = v_C\cos 60^\circ = \dfrac{v_C}{2}\). Это выполнено.

Величина скорости точки \(C\) в рассматриваемый момент достигает экстремума, поэтому её производная по времени равна нулю: тангенциальное ускорение точки \(C\) равно нулю. Ускорение точки \(C\) в этот момент центростремительное: \[a_C = \omega^2\cdot OC = \frac{2a\omega^2}{\sqrt3}.\]

Подсказка

Какие горизонтальные силы действуют на куб со стороны нитей через блоки? Если куб покоится, сила извне должна уравновешивать их разность. Запишите второй закон Ньютона для каждого из трёх тел.

Ответ

\(F = \dfrac{2}{3}mg\).

Решение

На куб в горизонтальном направлении действуют через блоки две силы натяжения нити. Сила натяжения левой нити больше силы натяжения правой, так как верхнее тело движется с ускорением, направленным влево, под действием этих сил. Поэтому сила \(F\), с которой нужно действовать на куб, чтобы он покоился, равна разности этих сил: \[F = T_{\text{лев}} - T_{\text{пр}}.\] Силы натяжения нитей найдём из динамики трёх связанных нитью тел (при покоящемся кубе). По второму закону Ньютона в проекциях на направление движения тел: \[3ma = 3mg - T_{\text{лев}}, \qquad 2ma = T_{\text{лев}} - T_{\text{пр}}, \qquad ma = T_{\text{пр}} - mg,\] где \(a\) — ускорение тел. Складывая эти уравнения, находим ускорение тел \[a = \frac{1}{3}g.\] Тогда горизонтальная сила, которую нужно приложить к кубу, чтобы он покоился, \[F = T_{\text{лев}} - T_{\text{пр}} = 2ma = \frac{2}{3}mg.\]