ИОШ, 2025/26, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Огонь должен дойти до самой удалённой от краёв точки. Для треугольника такая точка — центр вписанной окружности, и радиус этой окружности выражается через катеты и гипотенузу.

Ответ

\(t_1 = \left(3-\sqrt{5}\right)t\).

Решение

Чтобы вся пластина была охвачена огнём, огонь должен дойти от сторон до самых удалённых от сторон точек. Для прямоугольника со сторонами \(a\) и \(2a\) это точки, лежащие посередине пластины на расстоянии \(a/2\) от сторон (на рисунке они выделены жирной линией). Огонь проходит расстояние \(a/2\) за время \(t\), поэтому скорость распространения огня \[v = \frac{a}{2t} .\]

Для треугольной пластины, подожжённой со всех сторон, полная охваченность наступает, когда огонь дойдёт до центра вписанной окружности, то есть до точки, максимально удалённой от сторон. Время \[t_1 = \frac{r}{v} = \frac{2rt}{a} ,\] где \(r\) — радиус вписанной окружности. Касательные из вершин острых углов к вписанной окружности дают для гипотенузы \(c = \sqrt{5}\,a\) соотношение \(c = (a-r) + (2a-r)\), откуда \[r = \frac{3a-c}{2} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}\,a .\]

Следовательно, \[t_1 = \left(3-\sqrt{5}\right)t .\]

Подсказка

Количество пузырьков пропорционально объёму, в котором находятся их центры. Какие центры дают видимые на разрезе пузырьки?

Ответ

\(N_1 = \dfrac{2r}{a}\,N \approx 103{,}8\).

Решение

Поскольку радиус пузырька равен \(r\), на разрезе будут видны те пузырьки, центры которых находятся не далее чем на расстоянии \(r\) от плоскости разреза. То есть центры должны попасть в параллелепипед с размерами сторон \(2r \times b \times c\). Поскольку в параллелепипед объёмом \(V = abc\) попадают \(N\) пузырьков, то в параллелепипед объёмом \(V_1 = 2rbc\) попадут центры \[N_1 = \frac{N}{abc}\,2rbc = \frac{2r}{a}\,N = 103{,}8 .\]

Подсказка

Заранее не известно конечное состояние. Посчитайте, сколько теплоты выделится при полной конденсации пара, и сколько нужно, чтобы лёд нагрелся, расплавился и вода нагрелась до кипения. Сравните эти величины.

Ответ

Да: в сосуде будут находиться вода массой \(13{,}3\text{ г}\) и водяной пар массой \(1{,}7\text{ г}\) при температуре кипения \(100\,^\circ\text{C}\).

Решение

Заранее нельзя сказать, каким будет конечное состояние (лёд, вода, пар или их смеси), поэтому посчитаем все необходимые количества теплоты.

А. Если водяной пар полностью конденсируется, выделится \[Q_1 = r m_2 = 1{,}15\cdot 10^4\text{ Дж} .\] Б. Чтобы лёд нагрелся до температуры плавления, нужно \[Q_2 = c_л m_1 (0\,^\circ\text{C} - t_1) = 210\text{ Дж} .\] Поскольку \(Q_2 < Q_1\), лёд нагреется до \(0\,^\circ\text{C}\).

В. Чтобы лёд превратился в воду при \(0\,^\circ\text{C}\), нужно \[Q_3 = \lambda m_1 = 3{,}3\cdot 10^3\text{ Дж} .\] Поскольку \(Q_2 + Q_3 < Q_1\), лёд полностью расплавится.

Г. Чтобы довести всю получившуюся воду до температуры кипения, нужно \[Q_4 = c_в m_1 (100\,^\circ\text{C} - 0\,^\circ\text{C}) = 4{,}2\cdot 10^3\text{ Дж} .\] Поскольку \(Q_2 + Q_3 + Q_4 < Q_1\), вся вода дойдёт до температуры кипения. В конечном состоянии будут вода и водяной пар, причём сконденсируется столько пара, чтобы выделившаяся теплота равнялась \(Q_2 + Q_3 + Q_4\). Таким образом \[r m_x = Q_2 + Q_3 + Q_4 , \qquad m_x = \frac{c_л m_1 (t_пл - t_1) + \lambda m_1 + c_в m_1 (t_к - t_пл)}{r} = 3{,}4\text{ г} .\] Это значит, что в сосуде будет находиться \[m = m_1 + m_x = 13{,}3\text{ г}\] воды и 1,7 г водяного пара при температуре кипения \(t_к = 100\,^\circ\text{C}\).

Подсказка

Сначала предположите, что ток через фотоэлемент не течёт, и проверьте условие \(\varphi_A < \varphi_K\). Если оно не выполнено, составьте уравнения для токов в узле К и в контуре справа.

Ответ

\(U_{A-K} = \dfrac{\varepsilon}{3} - \dfrac{2}{3}\,I_0 r = 5{,}66\text{ В}\).

Решение

Предположим, что ток через фотоэлемент не течёт. Тогда ток через резисторы \(2r\) и \(r\) одинаков и равен \[I = \frac{2\varepsilon}{3r} .\] Падение напряжения на резисторе \(r\) равно \(2\varepsilon/3\), и потенциал точки К равен \(\varphi_K = \varphi_O + \dfrac{2\varepsilon}{3}\). Потенциал точки А равен \(\varphi_A = \varphi_O + \varepsilon\), то есть больше \(\varphi_K\). Значит, предположение неверно, и ток через фотоэлемент течёт.

В этом случае токи через резисторы \(2r\) и \(r\) различны: \(I_1\) и \(I_2\). Для узла К \[I_0 + I_1 = I_2 ,\] а для правого контура \[I_1 \cdot 2r + I_2 r = 2\varepsilon .\] Решая систему, находим \[I_2 = \frac{2\varepsilon}{3r} + \frac{2}{3}\,I_0 .\]

Падение напряжения на резисторе \(r\) равно \(I_2 r\), поэтому \(\varphi_K = \varphi_O + I_2 r = \varphi_O + \dfrac{2\varepsilon}{3} + \dfrac{2}{3}I_0 r\). Источник \(\varepsilon\) идеален, поэтому \(\varphi_A = \varphi_O + \varepsilon\). Отсюда \[U_{A-K} = \varphi_A - \varphi_K = \frac{\varepsilon}{3} - \frac{2}{3}\,I_0 r = 5{,}66\text{ В} .\]

Подсказка

Для равновесия шарнир \(C\) должен покоиться, а шатуны не должны вращаться вокруг него. Запишите условие моментов сил относительно \(C\) для каждого ползуна.

Ответ

\(Q = \sqrt{10}\,F\), направлена под углом \(\alpha\) к направляющим, где \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1}{3}\).

Решение

Чтобы механизм находился в равновесии, шарнир \(C\) должен покоиться, а шатуны \(AC\) и \(BC\) не вращаться относительно него. Сила \(2\vec F\) пытается закрутить шатун \(AC\) относительно шарнира \(C\), поэтому в левой направляющей возникает реакция \(\vec N_1\), а на ползун \(B\) со стороны правой направляющей действует реакция \(\vec N_2\), как показано на рисунке.

Условия моментов относительно \(C\), с учётом наклона шатунов под углом \(45^\circ\): \[2F l \frac{\sqrt{2}}{2} = N_1 l \frac{\sqrt{2}}{2} \;\Rightarrow\; N_1 = 2F , \qquad F l \frac{\sqrt{2}}{2} = N_2 l \frac{\sqrt{2}}{2} \;\Rightarrow\; N_2 = F ,\] где \(l\) — длина шатунов.

Чтобы сумма сил была равна нулю, на шарнир \(C\) должна действовать сила \(\vec Q\), проекция которой на направляющие равна \(3F\), а проекция на перпендикуляр к направляющим равна \(N_1 - N_2\). Поэтому \[Q\cos\alpha = 3F , \qquad Q\sin\alpha = N_1 - N_2 = F ,\] где \(\alpha\) — угол между силой \(\vec Q\) и направляющими. Отсюда \[Q = \sqrt{10}\,F , \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{3} .\]

Подсказка

Ток через резистор при большом внутреннем сопротивлении источника не зависит от сопротивления резистора. Резистор перегорает, когда тепловыделение начинает превышать теплоотдачу при любом росте температуры.

Ответ

\(I_{max} = \sqrt{\dfrac{R_1}{R_1 - R_0}}\,I_1 \approx 1{,}26\text{ А}\).

Решение

Поскольку сопротивление источника много больше сопротивления внешней цепи, сила тока через резистор \(I = \varepsilon/(R + r) \approx \varepsilon/r\) не зависит от его сопротивления. Поэтому ток можно считать установленным любым по желанию, например, изменением внутреннего сопротивления источника.

Пусть при токе \(I\) установившаяся температура резистора \(T\) и его сопротивление \(R\) перестаёт меняться. Баланс мощностей дает \[I^2 R_0 \bigl(1 + \alpha(T - T_0)\bigr) = k (T - T_0) ,\] где \(k\) — коэффициент теплоотдачи. Отсюда \[T - T_0 = \frac{I^2 R_0}{k - \alpha I^2 R_0} .\] Если ток достигает значения \[I \to I_{max} = \sqrt{\frac{k}{\alpha R_0}} ,\] температура неограниченно возрастает, и резистор перегорит (тепловыделение растёт с температурой быстрее, чем теплоотвод).

Пусть при токе \(I_1\) температура резистора и его сопротивление равны \(T_1\) и \(R_1\). Тогда \[R_1 = R_0 + R_0\alpha (T_1 - T_0) , \qquad I_1^2 R_0 \bigl(1 + \alpha(T_1 - T_0)\bigr) = k (T_1 - T_0) .\] Выражая из этих формул \(T_1 - T_0\) и приравнивая, получим \[\frac{\alpha}{k} = \frac{R_1 - R_0}{R_1 R_0 I_1^2} .\] Подставляя в формулу для \(I_{max}\), находим максимальный ток, при котором резистор перегорает: \[I_{max} = \sqrt{\frac{R_1}{R_1 - R_0}}\, I_1 = 1{,}26\text{ А} .\]