Курчатов, 2013/14, заключительный этап, 10 класс

Есть ли горизонтальные силы, действующие на доску на гладком льду? Что это говорит о положении её центра масс при падении?

\(0{,}5\) м.

Поскольку лёд гладкий, то нет трения, следовательно вдоль горизонтали на доску не действуют никакие силы. Значит, центр масс доски в конце падения окажется в точке, над которой он находился в начале падения. Расстояние от этой точки до нижнего края доски в начале падения \(\dfrac{l}{2}\cos 60^{\circ} = \dfrac{l}{4}\), в конце падения — \(\dfrac{l}{2}\), и искомое смещение равно \(\dfrac{l}{4} = 50\) см.

Какая сила сообщает монетке центростремительное ускорение? Когда она достигает предельного значения?

\(\mu = 0{,}23\).

Чтобы монетка покоилась относительно диска, сила трения покоя должна придавать монетке центростремительное ускорение. Проскальзывание начнётся, когда сила трения станет равна \(\mu m g\): \[m\omega^2 r = \mu m g, \qquad \text{откуда} \qquad \mu = \frac{\omega^2 r}{g} = \frac{(2\pi n)^2 r}{g} = 0{,}23 .\] Здесь \(n = 45/60 = 0{,}75\) об/с.

Запишите уравнения состояния газа для момента, когда утечка прекратилась, и для момента после остывания до комнатной температуры \(T_0\). Затем исключите \(\Delta P\).

\(\Delta P_2 = P\left(1 - \dfrac{T_1}{T_2}\right) + \Delta P_1\dfrac{T_1}{T_2} = 11{,}2\) кПа.

Запишем уравнения состояния для моментов, когда газ находится при температуре \(T_1\) и утечка уже прекратилась, и после остывания: \[(P + \Delta P)V = \nu R T_1, \qquad (P - \Delta P_1)V = \nu R T_0,\] откуда \[\frac{P + \Delta P}{P - \Delta P_1} = \frac{T_1}{T_0}.\] Аналогично для второго случая: \[\frac{P + \Delta P}{P - \Delta P_2} = \frac{T_2}{T_0}.\] Разделив эти соотношения друг на друга, получим уравнение \[\frac{P - \Delta P_2}{P - \Delta P_1} = \frac{T_1}{T_2},\] решая которое, найдём \[\Delta P_2 = P\left(1 - \frac{T_1}{T_2}\right) + \Delta P_1 \frac{T_1}{T_2} = 11{,}2 \text{ кПа}.\]

Комментарий: уж если мы уверяем участника, что можно пренебречь отличием воздуха при условиях задачи от идеального газа, тем более надо его успокоить насчёт более существенных факторов. А то кто-нибудь может попытаться учесть тепловое расширение и далеко не сразу заметить, что для этого чуть-чуть не хватает данных.

Какую долю полного тока должен пропускать шунт, чтобы предел измерения вырос в 10 раз?

Нужно подключить параллельно амперметру резистор с сопротивлением \(R \approx 1{,}1\) Ом; при этом получившийся прибор будет иметь внутреннее сопротивление \(r' = \dfrac{r}{10} = 1\) Ом.

Резистор нужно подключить параллельно амперметру. Сила тока через резистор должна быть в \(9\) раз больше, чем через амперметр, значит, сопротивление резистора должно быть в \(9\) раз меньше внутреннего сопротивления амперметра, то есть \(R = \dfrac{r}{9} \approx 1{,}1\) Ом. При этом внутреннее сопротивление прибора уменьшится в \(10\) раз и станет равным \(r' = \dfrac{r}{10} = 1\) Ом.

Заряд конденсатора при быстром сдвиге не успевает измениться. Сколько заряда протечёт через источник, пока напряжение на конденсаторе не придёт к \(U\)?

\(Q = 55\) нДж.

После уменьшения расстояния между обкладками ёмкость конденсатора станет равной \(C_1 = nC\). Заряд конденсатора не успеет измениться (так как сдвиг «быстрый»), и энергия конденсатора станет равной \(E = \dfrac{q^2}{2C_1}\) (во время сдвига тепло на резисторе не выделяется, и энергия поля уменьшается за счёт отрицательной работы внешних сил, тормозящих движение притягивающихся пластин). После сдвига в цепи будет течь ток, пока напряжение на конденсаторе не станет равным \(U\). Заряд на конденсаторе вначале \(q = CU\), в конце — \(q_1 = C_1 U = nCU\). То есть через источник протечёт заряд \(\Delta q = (n-1)CU\). Следовательно, источник совершит работу \(A = U\Delta q\). Эта работа пойдёт на изменение внутренней энергии конденсатора и на компенсацию тепловых потерь: \[A = \left(\frac{q_1^2}{2C_1} - \frac{q^2}{2C_1}\right) + Q,\] откуда \[Q = U\Delta q - \left(\frac{n^2C^2U^2}{2nC} - \frac{C^2U^2}{2nC}\right) = (n-1)CU - \frac{(n^2-1)CU^2}{2n} = \frac{(n-1)^2 C U^2}{2n} = 55 \text{ нДж}.\]

Комментарий: важно чётко объяснить физику процесса, ибо участники могут в ней путаться — почти наверняка будут решения с ошибочным отсчётом энергии от \(\dfrac{q^2}{2C}\).