зад 1 Вера и собака Юлта
Каждое утро девочка Вера выгуливает свою собаку Юлту. Поскольку Юлта любит побегать, Вера всегда берёт на прогулку игрушку, которую бросает перед собой, а Юлта бежит и приносит игрушку хозяйке. При этом Вера не стоит на месте, а идёт вперёд, и, как только Юлта принесёт игрушку, снова бросает её. За время прогулки Вера проходит \(1500\) м, а Юлта пробегает \(6000\) м. Сколько раз за прогулку Вера бросает игрушку, если игрушка всегда улетает вперёд на \(30\) м, а Вера и Юлта двигаются с постоянными скоростями.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните скорости Юлты и Веры и найдите путь, который Вера проходит между двумя соседними бросками.
▶ОтветСкрыть
125 раз.
▶РешениеСкрыть
По условию девочка и собака движутся с постоянными скоростями, причём скорость собаки в \(6000\) м \(: 1500\) м \(= 4\) раза больше. За время между двумя последовательными бросками Вера и Юлта суммарно проходят путь \(30\) м \(\cdot 2 = 60\) м. За это время Вера проходит путь \(\dfrac{1}{1+4}\cdot 60\) м \(= 12\) м (можно реализовать это решение в виде составления уравнения: если путь Веры между бросками обозначить \(x\) м, то путь Юлты будет равен \((60 - x)\) м, и по условию \(\dfrac{60-x}{x} = 4\), откуда \(x = 12\)). Значит, за прогулку девочка успевает \(1500\) м \(: 12\) м \(= 125\) раз бросить игрушку.
зад 2 Система пружин
Пружины, жёсткость каждой из которых \(k= 10\) Н/м, соединены как показано на рисунке. С какой силой \(F\) нужно растягивать систему, чтобы точка приложения силы опустилась на \(10\) см?
▶ПодсказкаСкрыть
Сколько пружин в каждой ветви системы и какие силы натяжения в них действуют? Как складываются удлинения последовательно соединённых пружин?
▶ОтветСкрыть
\(0{,}4\) Н.
▶РешениеСкрыть
Силы натяжения верхней и нижней пружин равны \(F\), поэтому удлинение каждой из них \(\Delta x_1 = F/k\). Силы натяжения средних пружин равны \(F/2\), значит, их удлинение \(\Delta x_2 = F/(2k)\). Общее удлинение системы равно \(\Delta x = 2\Delta x_1 + \Delta x_2 = \dfrac{5F}{2k} = 10\) см \(= 0{,}1\) м, откуда \(F = \dfrac{2k\Delta x}{5} = 0{,}4\) Н.
зад 3 Шулер с кубиком-обманкой
Шулер хочет пронести в казино игральный кубик, состоящий из пластика в форме куба с ребром \(3\) см, в который вплавлена свинцовая вставка неправильной формы массой \(7\) г. Сможет ли он это сделать, если для этого кубик должен весить не больше, чем кубик таких же габаритов плотностью \(\rho_0 = 2{,}6\) г/см\(^3\)? Плотность свинца равна \(\rho_{\text{св}} = 11{,}3\) г/см\(^3\), плотность пластика \(\rho_{\text{пл}} = 2{,}4\) г/см\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала найдите объём пластика, зная объём всего куба и объём свинцовой вставки, затем сравните массу кубика с массой идеального кубика такого же объёма.
▶ОтветСкрыть
Не пройдёт.
▶РешениеСкрыть
Объём куба \(V_0 = 3^3\) см\(^3 = 27\) см\(^3\). Объём пластика равен \(V_{\text{пл}} = V_0 - \dfrac{7\text{ г}}{11{,}3\text{ г/см}^3} = 26{,}38\) см\(^3\). Масса пластика тогда равна \(V_{\text{пл}}\rho_{\text{пл}} = 63{,}3\) г, суммарная масса кубика равна \(70{,}3\) г. Масса идеального кубика равна \(\rho_0 V_0 = 70{,}2\) г, так что номер не пройдёт!
зад 4 Банка с солью от Робинзона
Приятель Робинзона Крузо с соседнего острова попросил прислать ему морской почтой мешок соли. Так как мешок в дороге могут заклевать птицы, Робинзон решил отправить посылку в стеклянной цилиндрической банке. Чтобы сосед догадался о том, что в банке соль, Крузо наклеил ленточку шириной \(d = 5\) см на верхнюю часть. Высота всей банки \(L = 25\) см, а площадь основания — \(S = 100\) см\(^2\). Какой объем \(V_c\) соли сможет переправить по воде Крузо, если её плотность \(\rho = 2100\) кг/м\(^3\), масса банки с крышкой \(M = 0{,}2\) кг, а ленточка с надписью всегда должна оставаться над поверхностью воды? Плотность воды в океане в районе острова Робинзона \(\rho_{\text{в}} \approx 1{,}027\) г/см\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Какая сила Архимеда действует на банку при максимальном допустимом погружении, когда ленточка ещё над водой?
▶ОтветСкрыть
\(V_c \approx 883\) мл.
▶РешениеСкрыть
При максимально допустимом погружении на банку с солью действует сила Архимеда, равная \(F = \rho_{\text{в}} g S (L-d)\), которая должна уравновешивать массу банки и соли: \[(M + \rho V_c) g = \rho_{\text{в}} g S (L-d).\] Откуда \[V_c = \frac{\rho_{\text{в}} S (L-d) - M}{\rho} \approx 883 \text{ мл}.\]
Источник: Олимпиада «Курчатов» по физике, 2013/14, заключительный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.