Курчатов, 2014/15, заключительный этап, 8 класс

\(\rho = \dfrac{2}{3}\rho_0 \approx 667\text{ кг/м}^3\).

Обозначим массу и объём цилиндра через \(M\) и \(V\). Запишем правило моментов для первого и второго случаев. В первом случае на плече длиной \(2L\) висит цилиндр, наполовину погружённый в воду, а на плече длиной \(L\) — груз \(m\); во втором случае груз равен \(2m\), и погружена треть цилиндра: \[mg = 2\left(Mg - \rho_0 g\,\frac{V}{2}\right), \qquad 2mg = 2\left(Mg - \rho_0 g\,\frac{V}{3}\right).\] Выразив \(mg\) из второго уравнения и подставив в первое, получим \[Mg - \rho_0 g\,\frac{V}{3} = 2\left(Mg - \rho_0 g\,\frac{V}{2}\right),\] откуда \(M = \dfrac{2}{3}\rho_0 V\). Значит, плотность цилиндра \[\rho = \frac{M}{V} = \frac{2}{3}\rho_0 = \frac{2}{3}\cdot 1000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \approx 667\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} .\]

Насколько поднялся цилиндр относительно первоначального положения? На сколько опустился уровень воды? Как изменилась сила Архимеда?

\(S = 20\text{ см}^2\).

Обозначим искомую площадь через \(S\), площадь поперечного сечения цилиндра — через \(S_1\). Из-за того, что часть цилиндра вытащили из воды, уровень воды понизился. Относительно старого уровня цилиндр поднялся на \((y - x) = 3\) см, а относительно нового — на \(h = 4\) см. Значит, уровень воды опустился на \[h_1 = h - (y - x) = 1\text{ см}.\] Выталкивающая сила уменьшилась на \(\rho g S_1 h\), на столько же увеличилась сила натяжения пружины: \[k x = \rho g S_1 h, \qquad S_1 = \frac{kx}{\rho g h} = 5\text{ см}^2 .\] Объём воды не меняется: понижение уровня на \(h_1\) по всей площади \(S\) компенсируется заполнением пространства под цилиндром высотой \(h - h_1\) площадью \(S_1\): \[h_1 (S - S_1) = (h - h_1)\, S_1 ,\] откуда \[S = \frac{h}{h_1}\, S_1 = 4 S_1 = 20\text{ см}^2 .\]

Сравните отношения сопротивлений верхней и нижней ветвей. Что можно сказать о потенциалах средних точек?

\(R_{\text{уч}} = \dfrac{60}{7}R = 60\) Ом.

Верхняя ветвь между входом и выходом состоит из резисторов \(6R\) и \(9R\), нижняя — из \(8R\) и \(12R\). Так как \[\frac{6R}{9R} = \frac{8R}{12R} = \frac{2}{3},\] мост сбалансирован: потенциалы обеих средних точек одинаковы, и ток через резистор \(23R\) не течёт. Его можно убрать, а оставшиеся две ветви соединены параллельно: \[R_{\text{уч}} = \frac{(6R + 9R)(8R + 12R)}{(6R + 9R) + (8R + 12R)} = \frac{15R\cdot 20R}{35R} = \frac{60}{7}R = 60\text{ Ом} .\]

Учтите, что часть воды при контакте с пластиной успеет испариться и покинуть сосуд. Когда прекратится испарение?

\(t \approx 24{,}7\,^{\circ}\text{C}\).

Пластина нагрета до температуры, намного большей \(100\,^{\circ}\text{C}\). При контакте с ней часть воды быстро нагреется до температуры кипения, испарится, покинет сосуд и не будет участвовать в дальнейшем теплообмене. Испарение прекратится, когда пластина остынет до \(100\,^{\circ}\text{C}\). Оценим массу испарившейся воды из теплового баланса: \[m_{\text{исп}} = \frac{0{,}38\ \frac{\text{кДж}}{\text{кг}\cdot{}^{\circ}\text{C}}\cdot 0{,}64\text{ кг}\cdot(800\,^{\circ}\text{C} - 100\,^{\circ}\text{C})}{2{,}3\ \frac{\text{МДж}}{\text{кг}} + 4{,}2\ \frac{\text{кДж}}{\text{кг}\cdot{}^{\circ}\text{C}}\cdot 80\,^{\circ}\text{C}} \approx 65\text{ г}.\] Масса оставшейся в сосуде воды \(m_{\text{ост}} = 1000\text{ г} - 65\text{ г} = 935\text{ г}\). Искомую температуру \(t\) найдём из уравнения теплового баланса: \[4{,}2\ \frac{\text{кДж}}{\text{кг}\cdot{}^{\circ}\text{C}}\cdot 0{,}935\text{ кг}\cdot (t - 20\,^{\circ}\text{C}) = 0{,}38\ \frac{\text{кДж}}{\text{кг}\cdot{}^{\circ}\text{C}}\cdot 0{,}64\text{ кг}\cdot (100\,^{\circ}\text{C} - t),\] откуда \(t \approx 24{,}7\,^{\circ}\text{C}\).

Выразите объёмы шарика и плотности жидкости при \(t_1\) и \(t_2\) через их значения при одной и той же температуре. Сила Архимеда пропорциональна произведению плотности жидкости на объём шарика.

\(\beta_2 = \dfrac{1}{t_2 - t_1}\left(\dfrac{F_1}{F_2} - 1\right) + \dfrac{F_1}{F_2}\,\beta_1\).

Обозначим объёмы шарика при температурах \(t_1\) и \(t_2\) через \(V_1\) и \(V_2\). По определению коэффициента объёмного расширения \[\frac{V_2}{V_1} = 1 + \beta_1 (t_2 - t_1) = 1 + \beta_1 \Delta t, \qquad \Delta t = t_2 - t_1 .\] Плотность жидкости обратно пропорциональна её объёму при изменении температуры (масса жидкости не меняется), поэтому \[\frac{\rho_1}{\rho_2} = 1 + \beta_2 \Delta t .\] Модули сил Архимеда \(F = \rho g V\) относятся как \[\frac{F_2}{F_1} = \frac{\rho_2 V_2}{\rho_1 V_1} = \frac{1 + \beta_1 \Delta t}{1 + \beta_2 \Delta t} .\] Отсюда \[\beta_2 = \frac{1}{\Delta t}\left(\frac{F_1}{F_2} - 1\right) + \frac{F_1}{F_2}\,\beta_1 .\]