Курчатов, 2016/17, заключительный этап, 8 класс

Средняя скорость на первом и третьем участках — это отношение удвоенного пути к сумме времён на них. Найдите её, затем длину второго участка.

1) \(75\text{ км/ч}\);  2) \(75\text{ км}\);  3) \(1\text{ ч}\).

Средняя скорость на всём пути равна скорости на втором участке, следовательно, равна и средней скорости на первом и третьем участках. Пусть \(s\) — треть пути. Время на первом участке \(t_1 = \dfrac{s}{v_1}\), на третьем \(t_3 = \dfrac{s}{v_3}\). Средняя скорость на первом и третьем участках: \[\bar v = \frac{2s}{t_1 + t_3} = \frac{2}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_3}} = \frac{2\cdot 60\cdot 100}{100 + 60}\text{ км/ч} = 75\text{ км/ч}.\] Длина второго участка пути \[s = 75\text{ км/ч}\cdot 20\text{ мин} = 25\text{ км}.\] Полная длина пути \(3s = 75\text{ км}\). Общее время движения \[t = \frac{75\text{ км}}{75\text{ км/ч}} = 1\text{ ч}.\]

Найдите, какой объём в кубическом метре занимают сами плоды, исходя из насыпной и обычной плотности. Затем найдите массу груш в ящике.

Около \(47\%\) объёма приходится на воздух; в ящике может храниться \(480\) груш.

Из \(1\text{ м}^3\) объёма, используемого для хранения груш, на сами плоды приходится объём \[\frac{480\text{ кг}}{900\text{ кг/м}^3} \approx 0{,}53\text{ м}^3,\] значит, \(0{,}47\text{ м}^3\) приходится на воздух, то есть на воздух приходится \(47\%\) объёма. Объём ящика \(0{,}12\text{ м}^3\), масса груш, которые могут в нём храниться, \[0{,}12\text{ м}^3\cdot 480\text{ кг/м}^3 = 57{,}6\text{ кг},\] что соответствует \(480\) грушам при массе одной груши \(120\) г.

Какое давление создаёт столб ртути высотой \(h\) у поршня? Сравните силы атмосферного давления и давления ртути на поршень.

\(\Delta F = \rho g h S \approx 27\text{ Н}\).

Давление ртути под поршнем будет на \(\rho g h\) меньше атмосферного, значит, сила атмосферного давления, действующая на поршень и направленная вниз, больше силы давления ртути на поршень на \[\Delta F = \rho g h S = 13{,}6\text{ г/см}^3\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot 50\text{ см}\cdot 4\text{ см}^2 \approx 27\text{ Н}.\] Именно с такой силой нужно тянуть поршень насоса.

Полезная работа мотора — увеличение потенциальной энергии груза. Сравните её за одну секунду с мощностью электрического тока.

\(\eta = 50\%\).

Полезная работа мотора — это увеличение потенциальной энергии груза. За \(1\) секунду потенциальная энергия груза увеличивается на \[\Delta E = 50\text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot 0{,}035\text{ м} = 17{,}5\text{ Дж}.\] Значит, полезная мощность \(P_п = 17{,}5\text{ Вт}\). Затрачиваемую мощность найдём из выражения для мощности электрического тока: \(P_з = 70\text{ В}\cdot 0{,}5\text{ А} = 35\text{ Вт}\). КПД электромотора: \[\eta = \frac{P_п}{P_з} = \frac{17{,}5\text{ Вт}}{35\text{ Вт}} = 50\%.\]

Какие точки схемы соединены проводом без сопротивления и их можно объединить в один узел? После этого найдите сопротивления параллельных и последовательных участков.

\(R_{AF} = \dfrac{3}{5}R = 72\text{ кОм}\).

Точки \(B\) и \(D\) соединены проводом с пренебрежимо малым сопротивлением, поэтому их можно объединить в одну. Между точками \(B\) и \(C\) два резистора соединены параллельно, их можно заменить одним с сопротивлением \(R/2\). На участке \(BCE\) теперь имеется два резистора, соединённых последовательно, их можно заменить одним с сопротивлением \[\frac{R}{2} + R = \frac{3}{2}R.\] В итоге получилась схема из двух параллельных участков, сопротивление которой \[R_{AF} = \frac{1}{\dfrac{1}{R} + \dfrac{2}{3R}} = \frac{3}{5}R = 72\text{ кОм}.\]