Курчатов, 2020/21, заключительный этап, 7 класс

Плотность блока лежит между плотностями жидкостей. Что это значит для того, где он окажется? Запишите баланс сил Архимеда по обеим жидкостям.

\(\Delta h = \dfrac{V(\rho_k-\rho_2)}{S(\rho_1-\rho_2)} = 1{,}5\text{ см}\).

Поскольку плотность блока больше плотности верхней жидкости и меньше плотности нижней, блок продолжает плавать на границе раздела жидкостей. На блок действует сила тяжести \(F = mg = \rho_k V g\). Сила Архимеда от двух жидкостей равна \[F_A = F_{A1} + F_{A2} = \rho_1 g V_x + \rho_2 g (V - V_x),\] где \(V_x\) — объём блока, погруженный в нижнюю жидкость, а \(V - V_x\) — объём блока в верхней жидкости. Баланс сил дает \[\rho_k V g = \rho_1 g V_x + \rho_2 g (V - V_x), \qquad V_x = V\,\dfrac{\rho_k - \rho_2}{\rho_1 - \rho_2}.\] Уровень нижней жидкости повышается на объём \(V_x\), поэтому граница раздела поднимается на \[\Delta h = \dfrac{V_x}{S} = \dfrac{V(\rho_k - \rho_2)}{S(\rho_1 - \rho_2)} = 1{,}5\text{ см}.\]

Что произойдёт с тёмным пятном, если нижняя расчёска сдвинется на один зубец? Сколько зубцов нижней расчёски проходит за время, пока пятно смещается на один период картины?

\(v = 7\text{ см/с}\).

Зафиксируем положение некоторого тёмного пятна. Если нижняя расчёска переместится на один зубец, то новая композиция тёмных пятен будет идентична исходной. Следовательно, выбранное тёмное пятно переместится на некоторое количество зубцов \(N\) относительно предыдущего своего положения. По рисунку можно определить, что на один сдвиг пятен на \(N\) зубцов приходится \(7N\) зубцов нижней расчёски, поэтому тёмные пятна перемещаются в 7 раз быстрее, чем нижняя расчёска: \(v = 7\text{ см/с}\).

Сравните, сколько времени звук идёт от места начала свистка и от места его окончания. Насколько изменилось расстояние до станции за время свистка?

\(v = \dfrac{t_0 - t_1}{t_0}\,c = 34\text{ м/с}\).

Пусть \(L\) — расстояние от локомотива до вокзала в момент, когда машинист начинает давать свисток. Время, необходимое звуку, чтобы добраться до диспетчера станции в этот момент, равно \[\tau_A = \dfrac{L}{c}.\] Когда свисток прекращается, расстояние от локомотива до диспетчера равно \(L - v t_0\), поэтому время распространения звука с этого расстояния равно \[\tau_B = \dfrac{L - v t_0}{c}.\] Пусть машинист начинает свисток в момент \(\tau_0\) и заканчивает в момент \(\tau_0 + t_0\). Диспетчер слышит начало свистка в момент \(\tau_0 + \tau_A\) и его окончание в момент \(\tau_0 + t_0 + \tau_B\). Разность этих моментов — измеренное диспетчером время свистка \(t_1\): \[t_1 = t_0 - \tau_A + \tau_B = t_0 - \dfrac{v}{c}\,t_0.\] Отсюда \[v = \dfrac{t_0 - t_1}{t_0}\,c = 34\text{ м/с}.\]

В начальном состоянии поршни находятся на одном уровне: что это говорит о соотношении площадей поршней? Далее записывайте равенство давлений в жидкости на одной высоте.

\(\Delta x_1 \approx 2{,}7\text{ мм}\).

Из равновесия в начальный момент времени следует, что площадь первого поршня в четыре раза больше площади второго: \(S_1 = 4 S_2\). Когда на первый поршень дополнительно ставят гирьку массы \(m\), первый поршень опускается на \(\Delta x_1\), а второй поднимается на \(\Delta x_2\). Из сохранения объёма жидкости \[S_1 \Delta x_1 = S_2 \Delta x_2, \qquad \text{откуда} \qquad \Delta x_2 = 4\,\Delta x_1.\] Пружина также растягивается на \(\Delta x_2\). Из условия равенства давлений в жидкости на одной высоте относительно дна получаем \[\dfrac{mg}{S_1} = \rho g(\Delta x_1 + \Delta x_2) + \dfrac{k\,\Delta x_2}{S_2}.\] Отсюда \[\Delta x_1 = \dfrac{mg}{5\rho g S_1 + \dfrac{S_1^2}{S_2^2}\,k} = \dfrac{0{,}5 \cdot 10}{5 \cdot 500 \cdot 10 \cdot 0{,}01 + 16 \cdot 100} \approx 2{,}7\text{ мм}.\]

Сила упругости появляется тогда, когда резинка становится натянутой, то есть когда сумма длины погружённой части свечи и длины резинки достигает уровня воды. Сначала найдите, при каком времени это произойдёт.

Резинка начнёт натягиваться в момент \(t_1 = \dfrac{10}{9}\) мин. Свеча погаснет, не догорев: при \(t \approx 6{,}1\) мин после \(t_1\) пламя уходит под воду, при этом длина свечи над водой составляет около \(2{,}8\) см.

Запишем условие равновесия свечи: \(mg + F_{\text{упр}} = F_{\text{арх}}\). Сила упругости начинает действовать, когда резинка начинает натягиваться. Пусть \(h\) — длина погружённой в воду части свечи, а \(c\) — скорость сгорания свечи в см/мин. До натяжения резинки \[\rho_c a^2 l g = \rho_{\text{в}} a^2 h g, \qquad h(t) = \dfrac{\rho_c}{\rho_{\text{в}}}\, l(t), \qquad l(t) = l_0 - c t.\] Тогда \(h(t) = -c\dfrac{\rho_c}{\rho_{\text{в}}}\,t + l_0\dfrac{\rho_c}{\rho_{\text{в}}}\). Эта зависимость верна, пока \(h + L > H\). Момент, когда резинка начнёт натягиваться, находится из условия \(H = L - c\dfrac{\rho_c}{\rho_{\text{в}}}\,t + l_0\dfrac{\rho_c}{\rho_{\text{в}}}\): \[t_1 = \Bigl(-H + L + l_0\dfrac{\rho_c}{\rho_{\text{в}}}\Bigr)\dfrac{\rho_{\text{в}}}{c\,\rho_c}.\] Подставляя числа, находим \(t_1 = 10/9\) мин. При этом \(l_1 = l(t_1) = \dfrac{80}{9}\) см, \(h_1 = h(t_1) = 4\) см.

Растяжение резинки связано с \(h\) соотношением \(\Delta(t) = H - h(t) - L\). Условие равновесия с учётом силы упругости: \[k\bigl(H - h(t) - L\bigr) + \rho_c a^2 l(t) g = \rho_{\text{в}} a^2 h(t) g.\] Отсюда \[h(t) = \dfrac{k(H - L) + \rho_c a^2 l_1 g}{\rho_{\text{в}} a^2 g + k} - \dfrac{\rho_c a^2 c\,t}{\rho_{\text{в}} a^2 g + k}\] (отсчёт времени от момента \(t_1\)). Возможны два случая: свеча погасла, не догорев до конца, так что \(h(t_2) = l(t_2) > 0\), либо свеча полностью прогорела, \(h(t_2) = l(t_2) = 0\). Рассмотрим первый случай. Из равенства \(h(t_2) = l(t_2)\) получаем \[t_2 \approx 6{,}1\text{ мин}, \qquad l_2 = l_1 - 6{,}1 = 2{,}8\text{ см}.\] Итак, реализуется случай, когда свеча погаснет, не догорев.