Курчатов, 2022/23, заключительный этап, 7 класс

Общее число прыжков одинаково во всех экспериментах. Удобно ввести доли длинных и коротких прыжков от общего числа и составить систему из первых двух экспериментов.

\(v_3 = 1{,}625\) дел/с.

Обозначим число коротких прыжков в первом эксперименте за \(m\), а число длинных за \(n\). Общее число прыжков \(m+n\) неизменно для всех экспериментов, так как время фиксировано, а на каждый прыжок уходит одна секунда. Короткий прыжок составляет одно деление, длинный — два деления, поэтому в первом эксперименте \[v_1 = \frac{m+2n}{m+n} = \frac{5}{4}\ \text{дел/с}.\] Во втором эксперименте длинных прыжков \(m\), коротких \(n\): \[v_2 = \frac{n+2m}{m+n} = \frac{7}{4}\ \text{дел/с}.\] В третьем эксперименте коротких прыжков \(\dfrac{m}{2}\), длинных \(n+\dfrac{m}{2}\): \[v_3 = \frac{\tfrac{m}{2}+2\left(n+\tfrac{m}{2}\right)}{m+n}.\] Введём \(\alpha = \dfrac{m}{m+n}\) и \(\beta = \dfrac{n}{m+n}\). Из первых двух экспериментов получаем систему \[\begin{cases} \alpha+2\beta = \dfrac{5}{4},\\[4pt] 2\alpha+\beta = \dfrac{7}{4}, \end{cases} \qquad \alpha = \frac{3}{4},\quad \beta = \frac{1}{4}.\] Тогда \(v_3 = 1{,}5\,\alpha + 2\beta = \dfrac{13}{8} = 1{,}625\) дел/с.

Найдите скорость эскалатора и скорость Алексея относительно неподвижного эскалатора, затем учтите, что при движении против эскалатора скорости вычитаются.

\(4{,}5\) мин.

Пусть расстояние от низа эскалатора до перрона равно \(l\) метрам. Так как эскалатор поднимает неподвижно стоящего человека за \(3\) минуты, его скорость \[v = \frac{l}{3}\ \text{м/мин}.\] По неподвижному эскалатору Алексей прошёл бы половину длины, \(\dfrac{l}{2}\), за \(1\) минуту, поэтому его скорость \[v_A = \frac{l/2}{1}\ \text{м/мин}.\] Половину пути он поехал вверх на движущемся эскалаторе и затратил на это \(1{,}5\) мин. Затем он пошёл против движения эскалатора, и его относительная скорость равна \(v_A - v\). Полное потерянное время составляет \[1{,}5\ \text{мин} + \frac{l/2}{v_A - v} = 1{,}5\ \text{мин} + \frac{l/2}{l/2 - l/3} = 4{,}5\ \text{мин}.\]

Запишите правило моментов относительно левого и правого концов стержня. Вспомните, что удлинения обеих пружин одинаковы.

\(x = \dfrac{k_2(2M+m)-k_1m}{2M(k_1+k_2)}\,l = 14\) см.

Запишем правила моментов относительно правого и левого концов стержня: \[F_{\text{упр}1}\,l = Mg(l-x) + mg\frac{l}{2}, \qquad F_{\text{упр}2}\,l = Mgx + mg\frac{l}{2}.\] Отсюда \[F_{\text{упр}1} = Mg\,\frac{l-x}{l} + \frac{1}{2}mg, \qquad F_{\text{упр}2} = Mg\,\frac{x}{l} + \frac{1}{2}mg.\] Удлинения пружин одинаковы, \(y_1 = y_2\), поэтому \(\dfrac{F_{\text{упр}1}}{k_1} = \dfrac{F_{\text{упр}2}}{k_2}\). Подставляя силы упругости, получаем \[Mg\,\frac{l-x}{k_1 l} + \frac{mg}{2k_1} = Mg\,\frac{x}{k_2 l} + \frac{mg}{2k_2}.\] Отсюда \[x = \frac{k_2(2M+m)-k_1m}{2M(k_1+k_2)}\,l = 14\text{ см}.\] При данных значениях \(x<l\), что не противоречит условию.

Закон Архимеда связывает погружение стакана с массой налитой в него воды. Учтите, что при погружении стакана уровень воды в сосуде тоже поднимается.

1) \(v = \dfrac{D^2-d^2}{D^2}\cdot\dfrac{4\Delta m}{\pi\rho_\text{в} d^2\,\Delta t} \approx 2{,}3\) мм/с;  2) \(t = \dfrac{\pi d^2 H\rho_\text{в}-4m}{4\,\Delta m} \approx 13\) с.

Закон Архимеда для стакана с грузом и налитой в него водой массы \(m_0\) даёт связь уровня воды в сосуде \(h_0\) и массы \(m_0\): \[(m+m_0)g = \frac{\pi d^2}{4}\,h_0\rho_\text{в}g \quad\Rightarrow\quad h_0 = \frac{4(m+m_0)}{\pi\rho_\text{в}d^2}.\] Поэтому при добавлении воды массой \(\Delta m\) стакан погружается на \[\Delta h = \frac{4\Delta m}{\pi\rho_\text{в}d^2}.\] Величина \(\Delta h\) складывается из поднятия уровня воды в сосуде \(\Delta\bar h\) и приближения стакана ко дну \(\Delta s\). Учитывая перераспределение объёма вытесненной воды, \[\Delta h = \Delta s + \Delta\bar h, \qquad \Delta s\,\frac{\pi d^2}{4} = \Delta\bar h\,\frac{\pi}{4}\,(D^2-d^2),\] откуда \(\Delta s = \dfrac{D^2-d^2}{D^2}\,\Delta h = \dfrac{D^2-d^2}{D^2}\cdot \dfrac{4\Delta m}{\pi\rho_\text{в}d^2}\). Скорость стакана \[v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{D^2-d^2}{D^2}\cdot \frac{4\Delta m}{\pi\rho_\text{в}d^2\,\Delta t} \approx 2{,}3\text{ мм/с}.\] Стакан утонет, когда при наполнении его массой \(\Delta m_1\) глубина погружения станет равна высоте стакана \(H\): \[H = \frac{4(m+\Delta m_1)}{\pi\rho_\text{в}d^2} \quad\Rightarrow\quad \Delta m_1 = \frac{\pi d^2}{4}H\rho_\text{в} - m.\] Время утопления (за \(\tau = 1\) с добавляется \(\Delta m\)): \[t = \frac{\Delta m_1}{\Delta m}\,\tau = \frac{\pi d^2 H\rho_\text{в}-4m}{4\,\Delta m}\,\tau \approx 13\text{ с}.\]

Посчитайте, сколько атомов каждого сорта приходится на одну ячейку с учётом того, что атомы на гранях и рёбрах делятся между соседними ячейками.

\(\rho = \dfrac{4m_H(m_{rCr}+m_{rO})}{a^3} \approx 3032\text{ кг/м}^3\).

В ячейке находится \(n_1 = 1 + 12\cdot\dfrac{1}{4} = 4\) атома хрома: один атом в центре целиком принадлежит ячейке, а 12 атомов на рёбрах принадлежат ещё трём ячейкам, так что каждой достаётся по \(\dfrac{1}{4}\). Кислорода \(n_2 = 6\cdot\dfrac{1}{2} + 8\cdot\dfrac{1}{8} = 4\) атома: атомы на гранях принадлежат двум ячейкам, атомы в вершинах — восьми.

Масса ячейки равна \(m = 4(m_{rCr}+m_{rO})\,m_H\), где \(m_H\) принято равным \(1\) а. е. м. С другой стороны, масса ячейки равна \(\rho a^3\). Отсюда \[\rho = \frac{4m_H(m_{rCr}+m_{rO})}{a^3} \approx 3032\text{ кг/м}^3.\]