Росатом, 2016/17, заключительный этап, 8 класс

Найдите, сколько градусов Цельсия содержит один градус Фаренгейта, и отсчитайте от нуля шкалы Фаренгейта до точки кипения воды.

\(t = 212\,^\circ\text{F}\).

Связь градусов Цельсия и Фаренгейта найдём из очевидного равенства \[1\,^\circ\text{F} = \frac{37{,}8 + 17{,}8}{100}\,^\circ\text{C} = 0{,}556\,^\circ\text{C}.\] Интервал температур между нулём шкалы Фаренгейта и температурой кипения воды в градусах Цельсия: \[t = 100\,^\circ\text{C} + 17{,}8\,^\circ\text{C} = 117{,}8\,^\circ\text{C}.\] Поэтому температура кипения воды в градусах Фаренгейта: \[t = \frac{117{,}8\,^\circ\text{C}}{0{,}556\,^\circ\text{C}}\cdot 1\,^\circ\text{F} = 212\,^\circ\text{F}.\]

Рассмотрите два этапа: до того как Феррари догонит Жигули и после этого момента. В каждом этапе запишите, какие пути проходят машины за время догоняния.

\(S_1 = 5S\).

Пусть скорости машин равны \(v_{\text{ф}}\), \(v_{\text{м}}\) и \(v_{\text{ж}}\). Феррари догонит Жигули через время \(t = \dfrac{S}{v_{\text{ф}} - v_{\text{ж}}}\). За это время Жигули и Мерседес пройдут расстояния \[l_{\text{ж}} = \frac{v_{\text{ж}}S}{v_{\text{ф}} - v_{\text{ж}}}, \qquad l_{\text{м}} = \frac{v_{\text{м}}S}{v_{\text{ф}} - v_{\text{ж}}}.\] Поэтому расстояние от Мерседеса до Феррари и Жигулей в этот момент есть \[\frac{5S}{6} = l_{\text{м}} - l_{\text{ж}} = \frac{(v_{\text{м}} - v_{\text{ж}})S}{v_{\text{ф}} - v_{\text{ж}}},\] откуда \[\frac{v_{\text{м}} - v_{\text{ж}}}{v_{\text{ф}} - v_{\text{ж}}} = \frac{5}{6}. \qquad (*)\] Теперь рассмотрим второй этап. Феррари догонит Мерседес через время \(t_1 = \dfrac{5S/6}{v_{\text{ф}} - v_{\text{м}}}\), за которое Феррари и Жигули пройдут расстояния \[l_{\text{ф}} = \frac{v_{\text{ф}}\,5S/6}{v_{\text{ф}} - v_{\text{м}}}, \qquad l_{\text{ж}}' = \frac{v_{\text{ж}}\,5S/6}{v_{\text{ф}} - v_{\text{м}}}.\] Расстояние от Феррари и Мерседеса до Жигулей в этот момент: \[S_1 = l_{\text{ф}} - l_{\text{ж}}' = \frac{(v_{\text{ф}} - v_{\text{ж}})\,5S/6}{v_{\text{ф}} - v_{\text{м}}}.\] Добавляя и вычитая в знаменателе \(v_{\text{ж}}\), делим на разность \(v_{\text{ф}} - v_{\text{ж}}\) и пользуемся формулой \((*)\): \[S_1 = \frac{\dfrac{5S}{6}}{1 - \dfrac{v_{\text{м}} - v_{\text{ж}}}{v_{\text{ф}} - v_{\text{ж}}}} = \frac{5S/6}{1 - 5/6} = 5S.\]

Сила натяжения нити одинакова во всех точках. Найдите растяжения пружин жёсткостью \(k\) и \(3k\), а затем длину нити, освободившейся при смещении блоков.

\(\Delta l = \dfrac{7F}{k}\).

Сила натяжения нити, охватывающей блоки, одинакова во всех точках. Поэтому пружины с коэффициентами жёсткости \(k\) растянуты на \[\Delta x = \frac{F}{k}.\] На блоки со стороны этой нити действует сила \(2F\). Поэтому пружины с жёсткостью \(3k\) растянуты на \[\Delta x_1 = \frac{2F}{3k},\] и за счёт перемещения каждого из них освобождается кусок нити, переброшенной через блоки, длиной \(2\Delta x_1\) (с одной и другой стороны от каждого блока). Поэтому перемещение конца нити равно \[\Delta l = 3\Delta x + 6\Delta x_1 = \frac{3F}{k} + \frac{6\cdot 2F}{3k} = \frac{7F}{k}.\]

После всех переливаний в каждом стакане останется такое же количество воды, как и до переливаний, но с другими температурами. Поэтому легко посчитать, сколько тепла получили и отдали второй и третий стаканы. Учитывая, что тепло не терялось, отсюда можно найти, сколько тепла получил или отдал первый стакан, а затем и изменение его температуры.

Второй стакан потерял количество теплоты \(Q_2 = c\cdot 2m\,\Delta t\), где \(c\) — удельная теплоёмкость воды. Третий стакан получил \(Q_3 = c\cdot 3m\,\dfrac{\Delta t}{2}\). Поэтому первый стакан получил \[Q_1 = Q_2 - Q_3 = \frac{cm\,\Delta t}{2}.\] Отсюда температура воды в первом стакане увеличилась на \[\Delta t_1 = \frac{Q_1}{cm} = \frac{\Delta t}{2}.\]

Запишите время, которое Мартышка бежит к голове Удава и обратно, через длину Удава \(l\) и скорости: при беге к голове расстояние сокращается на скорость Удава, при беге обратно — растёт.

\(\dfrac{v_{\text{м}}}{v_{\text{у}}} = 5\); \(l = 38{,}4\text{ попугая}\).

Очевидно, Мартышка пробежала до головы Удава расстояние \(\dfrac{l\,v_{\text{м}}}{v_{\text{м}} - v_{\text{у}}}\), где \(l\) — длина Удава, \(v_{\text{м}}\) — скорость Мартышки, \(v_{\text{у}}\) — скорость Удава. По условию оно равно \(48\) попугаям: \[\frac{l\,v_{\text{м}}}{v_{\text{м}} - v_{\text{у}}} = 48\text{ попугаев}. \qquad (*)\] Когда Мартышка побежала обратно, она пробежала от точки разворота расстояние \(\dfrac{l\,v_{\text{м}}}{v_{\text{м}} + v_{\text{у}}}\), которое по условию равно \(32\) попугаям (\(48 - 16\)): \[\frac{l\,v_{\text{м}}}{v_{\text{м}} + v_{\text{у}}} = 32\text{ попугаев}. \qquad (**)\] Решая систему уравнений \((*)\)–\((**)\), найдём \[\frac{v_{\text{м}}}{v_{\text{у}}} = 5, \qquad l = 38{,}4\text{ попугая}.\]