Росатом, 2016/17, заключительный этап, 9 класс

Обозначьте длину \(AP\) через \(l\) и время на \(RB\) через \(t\): тогда \(v = 4l/t\). Первая половина пути включает весь \(AP\), весь \(PQ\) и две трети \(QR\).

\(v_{\text{ср}} = \dfrac{3}{20}\,v\).

Пусть \(AP = l\). Тогда \(PQ = 2l\), \(QR = 3l\), \(RB = 4l\). Пусть время, затраченное на прохождение отрезка \(RB\), равно \(t\). Тогда времена на остальных участках: на \(QR\) — \(2t\), на \(PQ\) — \(3t\), на \(AP\) — \(4t\), а скорость \(v = \dfrac{4l}{t}\).

Средняя скорость на первой половине пути равна отношению длины половины пути (\(5l\)) ко времени её прохождения. Первая половина пути состоит из участка \(AP\), участка \(PQ\) и двух третей участка \(QR\), поэтому на её прохождение требуется время \[t_0 = 4t + 3t + \frac{2}{3}\,2t = \frac{25}{3}\,t.\] Отсюда \[v_{\text{ср}} = \frac{5l}{\dfrac{25}{3}t} = \frac{3l}{5t} = \frac{3}{20}\,v.\]

Для участка движения от высоты \(h\) до высоты \(h/4\) запишите путь через начальную скорость в этой точке, найдите её, а затем по закону сохранения энергии найдите высоту начала падения.

\(H = h + \dfrac{1}{2g}\left(\dfrac{3h}{4\Delta t} - \dfrac{g\,\Delta t}{2}\right)^{2}\).

Основная идея: рассматривая движение тела от точки на высоте \(h\) до точки на высоте \(h/4\), можно найти его скорость на высоте \(h\), а затем по закону сохранения энергии — высоту начальной точки над землёй.

Законы равноускоренного движения для участка от высоты \(h\) до высоты \(h/4\) дают \[\frac{3h}{4} = v_0\,\Delta t + \frac{g\,\Delta t^2}{2}.\] Отсюда \[v_0 = \frac{3h}{4\Delta t} - \frac{g\,\Delta t}{2}.\] По закону сохранения механической энергии \(\dfrac{mv_0^2}{2} = mgl\), где \(l\) — высота начальной точки над точкой, находящейся на высоте \(h\) над землёй. Тогда \[l = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{1}{2g}\left(\frac{3h}{4\Delta t} - \frac{g\,\Delta t}{2}\right)^{2}.\] Искомая высота начальной точки над землёй: \[H = h + l = h + \frac{1}{2g}\left(\frac{3h}{4\Delta t} - \frac{g\,\Delta t}{2}\right)^{2}.\]

Тела не утонут, если их общая средняя плотность не больше плотности воды. Найдите среднюю плотность системы, учитывая, что сумму \(1 + 2 + \dots + 100\) можно сгруппировать в пары.

\(\rho \le 19{,}8\text{ кг/м}^3\).

Тела не утонут в воде, если средняя плотность ста шаров меньше плотности воды. По определению \[\rho_{\text{ср}} = \frac{m_1 + m_2 + \dots + m_{100}}{100V} = \frac{\rho\,(1 + 2 + \dots + 100)}{100}.\] Сумму в скобках можно вычислить, складывая первое число с последним (\(1 + 100 = 101\)), второе с предпоследним (\(2 + 99 = 101\)) и т. д. Пар получается 50, поэтому \(1 + 2 + \dots + 100 = 50\cdot 101\). Тогда \[\rho_{\text{ср}} = \frac{101\,\rho}{2}.\] Тела не утонут, если \[\frac{101\,\rho}{2} \le \rho_0 \quad\Rightarrow\quad \rho \le \frac{2\rho_0}{101} = 19{,}8\text{ кг/м}^3.\]

Запишите уравнение теплового баланса для первого опыта и условие полного замерзания воды во втором; из них найдите отношение масс льда и воды.

\(t_2 = 70\,^\circ\text{C}\).

Пусть масса куска льда \(m\), масса воды \(M\), искомая температура воды \(t_2\). Уравнение теплового баланса для опускания в калориметр одного куска льда: \[c_{\text{л}}\,m\,(t_0 - t_1) + \lambda m = c_{\text{в}}\,M\,(t_2 - t_0) \quad\Rightarrow\quad t_2 = t_0 + \frac{m}{M}\cdot\frac{c_{\text{л}}(t_0 - t_1) + \lambda}{c_{\text{в}}}.\] Отношение масс найдём из второго условия: \[c_{\text{л}}\cdot 8m\,(t_0 - t_1) = \lambda\,(M + m) \quad\Rightarrow\quad \frac{m}{M} = \frac{\lambda}{8c_{\text{л}}(t_0 - t_1) - \lambda}.\] Отсюда \[t_2 = t_0 + \frac{\lambda\,\bigl(c_{\text{л}}(t_0 - t_1) + \lambda\bigr)} {c_{\text{в}}\bigl(8c_{\text{л}}(t_0 - t_1) - \lambda\bigr)} = 70\,^\circ\text{C}.\]

Давление у дна зависит от полной высоты столба жидкости. Слой масла \(h\) эквивалентен слою воды \(\rho_0 h/\rho_1\); найдите, как распределится эта дополнительная высота по трём сосудам.

\(\Delta h_{\text{лев}} = 3{,}9\text{ см}\); \(\Delta h_{\text{ср}} = 3{,}6\text{ см}\); \(\Delta h_{\text{прав}} = 7{,}5\text{ см}\).

С точки зрения давления в жидкости наливание в сосуд слоя масла толщиной \(h\) эквивалентно наливанию слоя воды толщиной \(\rho_0 h/\rho_1\). Поэтому наливание в систему сосудов слоя масла толщиной \(4h\) (в левый и правый сосуды) эквивалентно наливанию слоя воды толщиной \(h_1 = \dfrac{4\rho_0 h}{\rho_1}\).

Если бы эту воду распределили равномерно по трём сосудам, уровень в каждом поднялся бы на величину \(\dfrac{4\rho_0 h}{3\rho_1}\). Так как в среднем сосуде будет только вода (масло из левого и правого сосудов воду не вытесняет), уровень воды в нём поднимется на \[\Delta h_{\text{ср}} = \frac{4\rho_0 h}{3\rho_1} = 3{,}6\text{ см}.\] При этом давление у дна возрастёт на \[\Delta p = \rho_1 g\,\Delta h_{\text{ср}} = \frac{4}{3}\,\rho_0 g h. \qquad (*)\] Изменение уровня в левом колене найдём из условия увеличения давления на эту величину. В левом сосуде находится слой масла толщиной \(h\), который создаёт давление \(\rho_0 g h\). Поэтому для увеличения давления на \(\frac{4}{3}\rho_0 g h\) в левый сосуд должна войти дополнительная вода, дающая давление \(\frac{1}{3}\rho_0 g h\), то есть слой воды толщиной \(\frac{1}{3}\cdot\frac{\rho_0}{\rho_1}h\). Уровень в левом колене увеличится на \[\Delta h_{\text{лев}} = h + \frac{\rho_0}{3\rho_1}\,h = 3{,}9\text{ см}.\] В правом сосуде появляется дополнительный слой масла толщиной \(3h\), создающий давление \(3\rho_0 g h\). Чтобы давление у дна правого сосуда возросло на величину \(\Delta p\) из (*), из правого сосуда должна уйти вода толщиной \(\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{\rho_0}{\rho_1}h\). Поэтому уровень воды в правом сосуде поднимется на \[\Delta h_{\text{прав}} = 3h - \frac{5\rho_0}{3\rho_1}\,h = 7{,}5\text{ см}.\] Проверка: сумма подъёмов уровней жидкости во всех сосудах равна налитому, то есть \(4h\): \[\Delta h_{\text{лев}} + \Delta h_{\text{ср}} + \Delta h_{\text{прав}} = h + \frac{\rho_0}{3\rho_1}h + \frac{4\rho_0 h}{3\rho_1} + 3h - \frac{5\rho_0}{3\rho_1}h = 4h.\]