Росатом, 2018/19, отборочный этап, 11 класс

В момент начала скольжения сила трения покоя достигает максимума. Сравните её с силой тяжести свисающей части цепочки.

\(k = \dfrac{1}{3}\).

В момент начала скольжения сила тяжести, действующая на свисающий конец цепочки, равна силе трения, действующей на лежащую на столе часть цепочки. Поскольку эти силы пропорциональны массам соответствующих частей, получим \[k\,\frac{3}{4}\,mg = \frac{1}{4}\,mg ,\] где \(k\) — коэффициент трения между цепочкой и столом. Отсюда \[k = \frac{1}{3}.\]

Из первого участка найдите ускорение. Затем найдите время, за которое тело проходит путь \(2S\) от начала движения, и скорость в этот момент.

\(v = \dfrac{2\sqrt{2}\,S}{\tau}\).

Из законов равноускоренного движения находим ускорение тела \[a = \frac{2S}{\tau^2}.\] Применяя теперь законы движения к точке, находящейся на расстоянии \(2S\) от начальной, имеем \[2S = \frac{a t_1^2}{2}, \qquad v = a t_1 ,\] где \(t_1\) — время движения до этой точки. Выражая время из первого уравнения и подставляя его во второе, а также используя ускорение, находим \[v = \frac{2\sqrt{2}\,S}{\tau} .\]

Перегородки в равновесии, когда давления слева и справа от каждой совпадают. Сравните число молей в отсеках: при одинаковой температуре объём пропорционален числу молей.

Левая перегородка сдвинется вправо на \(\dfrac{2l}{35}\), правая — вправо на \(\dfrac{6l}{35}\).

Поскольку в левом отсеке находится 1 моль газа, в среднем — 2 моля, в правом — 4 моля, из условия равновесия перегородок (равенство давлений справа и слева от них) заключаем, что в начальный момент они располагались на расстояниях \(l/7\) и \(3l/7\) от левого конца сосуда. После того как гелий распределится по сосуду равномерно, его парциальные давления справа и слева от каждой перегородки будут одинаковы (независимо от их расположения). Поэтому в балансе давлений (слева и справа от каждой перегородки) гелий можно не учитывать. То есть можно считать, что после установления равновесия в отсеках будут содержаться: один моль криптона в левом, по одному молю криптона и неона — в среднем, по одному молю криптона и неона — в правом. Поэтому перегородки будут находиться на расстояниях \(l/5\) и \(3l/5\) от левого конца сосуда. Следовательно, перемещения перегородок после перераспределения гелия составят \[\Delta x_{\text{лев}} = \frac{l}{5} - \frac{l}{7} = \frac{2l}{35}, \qquad \Delta x_{\text{прав}} = \frac{3l}{5} - \frac{3l}{7} = \frac{6l}{35} .\]

Внешние силы, действующие на систему, вертикальны, поэтому горизонтальный импульс системы равен нулю. Из этого найдите соотношение скоростей тел в вертикальном положении спицы.

\(v = \sqrt{\dfrac{8gl}{3}}\) — скорость шарика массой \(m\); скорость шарика массой \(2m\) равна \(v/2\).

Поскольку все внешние силы, действующие на систему «спица–шарики», вертикальны, центр тяжести системы может двигаться только вертикально. Поэтому в любой момент времени горизонтальные составляющие скоростей шариков отличаются вдвое. Пусть в тот момент, когда спица вертикальна, скорость нижнего шарика (с массой \(m\)) равна \(v\). Тогда скорость верхнего шарика равна \(v/2\). Используем далее закон сохранения энергии. Поскольку убыль потенциальной энергии системы равна \[2mg\,\frac{l}{2} + mgl = 2mgl ,\] закон сохранения механической энергии даёт \[2mgl = \frac{2m\,(v/2)^2}{2} + \frac{mv^2}{2} .\] Отсюда находим \[v = \sqrt{\frac{8gl}{3}} .\]

Вихревое электрическое поле, возникающее при изменении индукции, разгоняет заряд. Сравните приращение его кинетической энергии с изменением радиуса при изменении \(B\).

\(R' = \dfrac{R}{\sqrt{2}}\) (радиус уменьшится в \(\sqrt{2}\) раз).

В постоянном магнитном поле заряд движется по окружности (если начальная скорость заряда перпендикулярна линиям магнитной индукции). При этом индукция магнитного поля \(B\), скорость заряда \(v\) и радиус его орбиты \(R\) связаны соотношением, которое представляет собой второй закон Ньютона для этого заряда: \[qvB = \frac{mv^2}{R} \quad\Rightarrow\quad \frac{q}{m}\,BR = v .\] Поскольку по условию магнитное поле изменяется медленно, можно считать, что в каждый момент времени заряд движется по окружности, и соотношение (1) имеет место. Однако при изменении индукции скорость заряда и радиус орбиты будут также меняться, но их приращения \(\Delta v\) и \(\Delta R\) связаны соотношением, которое следует из (1): \[\frac{q}{m}\,R\,\Delta B + \frac{q}{m}\,B\,\Delta R = \Delta v .\] С другой стороны, согласно закону электромагнитной индукции при изменении магнитного поля возникнет вихревое электрическое поле, которое и будет разгонять заряд. Работа вихревого электрического поля над зарядом равна \(q\,\dfrac{\Delta B S}{\Delta t}\) при обходе по орбите, где \(S\) — площадь орбиты; при перемещении на \(v\Delta t\) по окружности она равна \[q\,\frac{\Delta B\,S}{\Delta t}\cdot\frac{v\Delta t}{2\pi R} = \frac{qvR\,\Delta B}{2} .\] Применяя теперь к заряду теорему об изменении кинетической энергии, получим для приращения его кинетической энергии за время \(\Delta t\): \[\frac{qvR\,\Delta B}{2} = \Delta\!\left(\frac{mv^2}{2}\right) = mv\,\Delta v .\] Подставляя приращение скорости заряда в предыдущее соотношение, получим \[\frac{1}{2}\,R\,\Delta B + B\,\Delta R = 0 .\] Умножая это равенство на \(2R\) и учитывая, что \(\Delta(R^2) = 2R\,\Delta R\): \[R^2\,\Delta B + 2RB\,\Delta R = 0 \quad\Rightarrow\quad \Delta(BR^2) = 0 .\] Из этого следует, что произведение индукции магнитного поля на квадрат радиуса орбиты не изменяется при медленном изменении индукции. Поэтому, если индукция магнитного поля увеличивается в два раза, радиус орбиты уменьшается в \(\sqrt{2}\) раз.