Росатом, 2018/19, отборочный этап, 7 класс

Запишите три равенства масс и исключите массы Пети и ящика.

6 кошек.

Из условия имеем следующую систему уравнений: \[\begin{cases} m_{\text{В}} + m_{\text{П}} = 5m_{\text{я}} \\ m_{\text{П}} = 4m_{\text{к}} \\ 2m_{\text{к}} + m_{\text{П}} = 3m_{\text{я}} \end{cases}\] где \(m_{\text{В}}\), \(m_{\text{П}}\), \(m_{\text{я}}\) и \(m_{\text{к}}\) — массы Васи, Пети, ящика и кошки. Исключая массы Пети и ящика, получим \[m_{\text{В}} = 6m_{\text{к}} .\] Т.е. Вася весит столько же, сколько 6 кошек.

Сравните скорости поездов, зная, что при встречном движении время разъезда равно сумме длин, делённой на сумму скоростей. Во втором случае поезда едут в одну сторону.

\(t_2 = \dfrac{4}{5}\,t_1\).

Очевидно, в первом случае скорость электрички в три раза больше скорости товарного поезда, поскольку в противном случае электричка даже при увеличении её скорости в 2 раза не сможет обогнать товарный поезд, двигаясь с ним в одном направлении: \(v_{\text{э}} = 3v_{\text{т}}\). Время \(t_1\), в течение которого поезда проезжают мимо друг друга, двигаясь навстречу, определяется известным соотношением \[t_1 = \frac{l_1 + l_2}{v_{\text{э}} + v_{\text{т}}} = \frac{l_1 + l_2}{4v_{\text{т}}} .\] Время \(t_2\), в течение которого электричка будет обгонять товарный поезд, двигаясь в одном с ним направлении, определяется следующим соотношением: \[t_2 = \frac{l_1 + l_2}{v'_{\text{э}} - v_{\text{т}}} = \frac{l_1 + l_2}{5v_{\text{т}}} = \frac{4}{5}\,t_1 .\]

Плотность — отношение массы к объёму. Найдите массу каждого куска как произведение плотности на объём.

\(\rho_0 = \dfrac{27}{7}\,\rho\).

Плотностью сплава является отношение его массы к его объёму, при этом масса сплава равна сумме масс его компонент, а объём — сумме объёмов. Используя это определение и находя массы компонент сплава и его объём, получим \[\rho_0 = \frac{\rho V + 3\rho\cdot 2V + 5\rho\cdot 4V}{V + 2V + 4V} = \frac{\rho V\,(1 + 6 + 20)}{7V} = \frac{27}{7}\,\rho .\]

Листья продолжают падать, пока дворник идёт. Пусть за единицу времени на всю дорожку падает \(n\) листьев. Сколько листьев из падающих за время прохода дворник соберёт, а сколько останется?

На проход в одну сторону Иван Иваныч тратит \(t = \dfrac{t_0}{11} \approx 5{,}45\) мин; после прохода в обе стороны на дорожке останется 60 листьев.

Пусть на всю дорожку в единицу времени падает \(n\) листьев. А поскольку они падают равномерно и дворник ходит с постоянной скоростью, при проходе по всей дорожке на ней остаётся половина того количества листьев, которые упали за время прохода, а половину этих листьев он сметёт. Действительно, пусть к моменту начала прохода вся дорожка была чистая. Тогда в каждой точке дорожки дворник сможет смести те листья, которые упадут от начала его прохода то того времени, как он в этой точке оказался. То есть в течение небольшого времени в начале дорожке, половины времени в середине, почти полное время — в конце. А останутся — почти все листья в начале дорожки, упавшие в течение половины времени в середине, и ничего в конце. Поэтому если дворник проходит по дорожке в течение времени \(t\), на ней остаются к моменту окончания прохода \[\frac{1}{2}\,nt\] листьев и столько же листьев он сметает. Учтём теперь вышеизложенное и составим систему уравнений для определения искомых величин.

Итак, пусть к моменту начала прохода на дорожке лежат \(N\) листьев. Тогда дворник, пройдя до конца дорожки в одну сторону, сметет с неё эти листья и половину того количества, которое упало за время прохода. Или \[N + \frac{1}{2}\,nt = 1200 .\] При этом половина листьев, упавших за время прохода, останется. Когда дворник пройдёт в обратную сторону, он сметет эти листья и ещё \(nt/2\) листьев, которые упадут на дорожку за время обратного прохода. Поэтому \[nt = 120 .\] А \(nt/2\) листьев, которые упадут на дорожку за время обратного прохода, на ней останутся. А поскольку до начала следующего прохода пройдёт время \(t_0 - 2t\) (\(t_0 = 60\) минут), то к началу следующего прохода на дорожке будут лежать \[N = n\left(t_0 - 2t\right) + \frac{1}{2}\,nt\] листьев. Отсюда и предыдущих формул получаем систему \[\begin{cases} nt\left(\dfrac{t_0}{t} - 1\right) = 1200 \\ nt = 120 \end{cases}\] Решая систему уравнений, найдём \[t = \frac{t_0}{11} = 5{,}45 \text{ минут} .\] Значит, проход в обе стороны Иван Иваныч делает за \(10{,}9\) минуты. А после того, как дворник возвращается, на дорожке останется \(nt/2 = 60\) листьев.

Мысленно уберите перегородку и сравните длину участка потока, который проходит через трубу за половину оборота, с длиной участка, из которого перегородка «выбивает» частицы.

\(v = \dfrac{3L}{t} = 1500\) м/с.

Мысленно уберём перегородку и рассмотрим интервал времени, равный половине периода её вращения \(t/2\). За это время (при условии, что перегородки нет) заднее сечение трубы пересечёт «часть потока частиц длиной» \(vt/2\).

Учтём теперь наличие перегородки. Очевидно, что за это время перегородка «выбьет» с каждой траектории такое количество частиц, которое в тот момент, когда перегородка эту траекторию пересекает, находятся в трубе. А это значит, что из части потока длиной \(vt/2\) будет удалена часть потока длиной \(L\). А поскольку задерживаются две трети частиц, а частицы в потоке предполагаются распределёнными равномерно, то отношение этих двух длин — длины участка потока, из которой удалены частицы, к полной длине прошедшего потока — и составляет две трети. За следующие полпериода всё повторится и т.д. Поэтому \[\frac{L}{vt/2} = \frac{2}{3} .\] Отсюда получаем \[v = \frac{3L}{t} = 1500 \text{ м/с} .\]