Росатом, 2018/19, отборочный этап, 9 класс

\(x = \dfrac{4}{5}\,S\).

Пусть длина первой части пути равна \(x\). Тогда из условия задачи имеем \[v_{\text{ср}} = \frac{S}{t} = \frac{S}{\dfrac{x}{2v_{\text{ср}}} + \dfrac{S-x}{v_{\text{ср}}/3}} = \frac{2\,v_{\text{ср}}\,S}{6S - 5x},\] где \(v_{\text{ср}}\) — средняя скорость автомобиля на всем пути, \(t\) — время прохождения автомобилем всего пути. Отсюда находим \[x = \frac{4}{5}\,S.\]

\(L = 2h\).

Поскольку сечение сосуда сравнимо с сечением палки, надо учесть подъем воды в стакане при опускании в него палки. Из условия равновесия палки имеем \[\frac{2}{3}\,\rho\pi r^2 L g = \rho g\pi r^2 l \quad\Rightarrow\quad l = \frac{2}{3}\,L,\] где \(L\) — длина палки, \(l\) — длина куска палки, погруженного в воду, или расстояние от нового положения уровня воды до нижнего конца палки, \(\rho\) — плотность воды, \(g\) — ускорение свободного падения. Длину \(l\) можно представить как сумму двух расстояний — первого от нижней точки палки до первоначального положения уровня воды в стакане длиной \(h_1\) и второго от первоначального до нового положения уровня воды \(h_2\): \[l = h_1 + h_2.\] Поскольку подъем уровня воды в стакане связан с ее вытеснением палкой при погружении в воду, то объем вытесненной воды ниже первоначального уровня равен объему воды от первоначального уровня до нового. Поэтому \[h_1\pi r^2 = h_2\left(\pi 4r^2 - \pi r^2\right).\] Отсюда \[h_2 = \frac{1}{3}\,h_1.\] Потому \[h_1 = \frac{3}{4}\,l = \frac{1}{2}\,L.\] Палка коснется дна, если расстояние от первоначального уровня до ее нижней точки будет равно первоначальной высоте уровня воды в стакане: \[h_1 \ge h \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}\,L \ge h.\] Таким образом, палка коснется дна при минимальной длине \[L = 2h.\]

\(t_2 = \dfrac{2L}{g\,t}\).

Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, определяется известной формулой \[L = \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g},\] где \(v_0\) — начальная скорость, \(\alpha\) — угол бросания. Из этой формулы следует, что при бросках под углами \(\alpha\) и \(90^\circ - \alpha\) (и одинаковой начальной скорости) дальность полета одинакова. Таким образом, два угла, под которыми бросали тело в двух случаях, \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) связаны соотношением \[\alpha_1 = 90^\circ - \alpha_2.\] Используя теперь известную формулу для времени полета \[t = \frac{2v_0\sin\alpha}{g},\] получаем \[t_1 = \frac{2v_0\sin\alpha_1}{g}, \qquad t_2 = \frac{2v_0\sin\alpha_2}{g} = \frac{2v_0\sin(90^\circ - \alpha_1)}{g} = \frac{2v_0\cos\alpha_1}{g}.\] Перемножая времена \(t_1\) и \(t_2\), получаем \[t_1t_2 = \frac{4v_0^2\sin\alpha_1\cos\alpha_1}{g^2} = \frac{2L}{g}.\] Т.е. произведение времен на этих траекториях зависит только от длины пути, но не от углов и начальной скорости. Отсюда находим \[t_2 = \frac{2L}{g\,t_1}.\]

\(I_2 = \dfrac{5}{6}\,I_1 \approx 0{,}83\) А.

Перерисуем данную электрическую цепь, поменяв расположение резисторов и амперметров в пространстве (но не меняя их соединений друг с другом). Очевидно, данная в условии электрическая цепь может быть представлена в виде (см. рисунок).

Сила тока, текущего через верхний участок цепи, состоящий из резистора \(r_3\) и амперметра А2, равна \[I_2 = \frac{U}{r_3} = \frac{U}{3r},\] где \(U\) — электрическое напряжение, приложенное к рассматриваемому участку цепи. Сопротивление нижнего участка цепи, состоящего из трех резисторов \(r_1\), \(r_2\), \(r_4\) и амперметра А1, равно \[\frac{r_1r_2}{r_1+r_2} + r_4 = \frac{5}{3}\,r.\] Поэтому сила тока на нижнем участке цепи равна \[I = \frac{3U}{5r}.\] Поскольку отношение токов, текущих через резисторы \(r_2\) и \(r_1\), равно обратному отношению их сопротивлений, через резистор \(r_1\) (и амперметр А1) течет следующий электрический ток \[I_1 = \frac{r_2}{r_1+r_2}\,I = \frac{3U}{5r} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2U}{5r}.\] Отсюда находим \[I_2 = \frac{5}{6}\,I_1 = 0{,}83 \text{ А}.\]

\(m = \dfrac{(n-1)(k-1)}{n+k-1}\) аврорианских лет.

Пусть угловые скорости Соляриса, Титана и Авроры равны соответственно \(\omega_C\), \(\omega_T\) и \(\omega_A\). Время обгона одной планеты другой можно найти из следующих соображений. Если две планеты (например, Солярис и Титан) в какой-то момент времени окажутся на одном радиусе, проведенном от звезды, то в следующий раз они окажутся на одном радиусе, когда угол поворота одной будет больше угла поворота другой ровно на один полный угол, т.е. \(2\pi\). А угол поворота каждой планеты за время обгона можно найти из определения угловой скорости \(\varphi = \omega t\). Отсюда для времени обгона Солярисом планеты Титан \(t_{CT}\) получаем \[\omega_C t_{CT} - \omega_T t_{CT} = 2\pi \quad\Rightarrow\quad t_{CT} = \frac{2\pi}{\omega_C - \omega_T}.\] С другой стороны, солярисианский год — это время оборота Соляриса вокруг звезды: \(T_C = \dfrac{2\pi}{\omega_C}\). А поскольку по условию обгон Солярисом планеты Титан происходит каждые \(n\) солярисианских лет, отсюда получаем \[n = \frac{t_{CT}}{T_C} = \frac{\omega_C}{\omega_C - \omega_T}.\] Аналогично, из условия, что Титан обгоняет планету Аврора каждые \(k\) своих лет, находим \[k = \frac{t_{TA}}{T_T} = \frac{\omega_T}{\omega_T - \omega_A}.\] Планета Солярис обгоняет планету Аврора через интервал времени \[t_{CA} = \frac{2\pi}{\omega_C - \omega_A},\] что составляет \[m = \frac{t_{CA}}{T_A} = \frac{\omega_A}{\omega_C - \omega_A}\] аврорианских лет. Найдем величину \(m\). Для этого «перевернем» полученные равенства: \[\frac{1}{n} = 1 - \frac{\omega_T}{\omega_C}, \qquad \frac{1}{k} = 1 - \frac{\omega_A}{\omega_T}, \qquad \frac{1}{m} = \frac{\omega_C}{\omega_A} - 1.\] Из первых двух получаем \[\frac{\omega_T}{\omega_C} = \frac{n-1}{n}, \qquad \frac{\omega_A}{\omega_T} = \frac{k-1}{k}.\] Перемножая эти равенства, находим отношение угловых скоростей планет Солярис и Аврора \[\frac{\omega_C}{\omega_A} = \frac{nk}{(n-1)(k-1)},\] а затем и число лет планеты Аврора, через которое ее обгоняет планета Солярис: \[m = \frac{(n-1)(k-1)}{n+k-1}.\]