Росатом, 2018/19, заключительный этап, 7 класс

Средняя плотность кубика равна полной массе, делённой на полный объём. Выразите массы частей через массу самой лёгкой.

\(\rho=\dfrac{3}{10}\,\rho_0\).

Очевидно, средняя плотность кубика, которую и измерил школьник, связана с массами и объемами частей кубика так: \[\rho_0=\frac{M}{V}=\frac{m+3m+6m}{3v},\] где \(M\) и \(V\) — масса и объем всего кубика, \(m\) — масса самой легкой части, \(v\) — её объем. Отсюда \[\rho_0=\frac{10m}{3v}=\frac{10}{3}\,\rho,\] где \(\rho=\dfrac{m}{v}\) — плотность самой легкой части. Поэтому \[\rho=\frac{3}{10}\,\rho_0.\]

Рассмотрите равновесие рычага относительно точки опоры, а затем равновесие блока относительно его оси. Силы, с которыми рычаг и блок действуют друг на друга, равны по величине.

\(F_1=80\) Н.

Обозначим силу, действующую на левый конец рычага, как \(F_1\). Чтобы рычаг был в равновесии, нужно, чтобы сумма моментов сил, действующих на него, равнялась нулю. Следовательно, на рычаг со стороны блока действует сила \(F_2\), направленная вертикально вниз, и такая, что \[F_1\cdot AB=F_2\cdot BC\quad\Rightarrow\quad F_2=\frac{1}{3}\,F_1.\] Чтобы блок был в равновесии, нужно, чтобы сумма моментов сил, действующих на него, равнялась нулю. А поскольку рычаг действует на блок с такой же по величине силой, как и блок на него, имеем \[F_2\cdot CO=F\cdot R,\] где \(R\) — радиус блока. Поэтому \[F_2=\frac{R}{CO}\,F.\] Отрезок \(CO\) составляет \(1/8\) часть от длины рычага, радиус блока — \(1/3\) от длины рычага, поэтому \[F_1=3F_2=8F=80\ \text{Н}.\]

Выразите времена встречи и обгона через длину круга и скорости бегунов. Скорость Короткова удобно найти из времени одного круга.

\(t_3=312\) с.

Пусть длина круга на стадионе равна \(l\), скорость Долгова — \(v_1\), скорость Короткова — \(v_2\). Тогда справедливы уравнения \[t_1=\frac{l}{v_1+v_2}\qquad\text{и}\qquad t_2=\frac{l}{v_2}.\] Из этих уравнений находим \[\frac{1}{t_2}=\frac{v_2}{l},\qquad \frac{1}{t_1}-\frac{1}{t_2}=\frac{v_1}{l}.\qquad(*)\] А поскольку время \(t_3\), за которое Долгов догонит Короткова, если они побегут в одну сторону, равно \[t_3=\frac{l}{v_1-v_2},\] из формул \((*)\) находим \[\frac{1}{t_3}=\frac{v_1-v_2}{l}=\frac{1}{t_1}-\frac{2}{t_2}=\frac{t_2-2t_1}{t_1t_2},\] откуда \[t_3=\frac{t_1t_2}{t_2-2t_1}=\frac{24\cdot52}{52-48}=312\ \text{с}.\]

Пробка вытесняет воду из отверстия, и поршень поднимается. Учтите, что объём воды, вытесненный из отверстия, распределяется по остальной части сечения стакана.

\(\Delta x=\dfrac{S_1-S_2}{S_1}\,d=2{,}25\) см.

Пробка будет выдавливать воду из отверстия, и это приведет к поднятию поршня. Пусть в тот момент, когда пробка дойдет до нижнего края отверстия, она опустится на величину \(\Delta x\), а поршень поднимется на величину \(d-\Delta x\). Тогда из отверстия будет выдавлен объем воды \(\Delta V=\Delta x\,S_2\), и этот объем «разместится» на остальной (кроме отверстия) части сосуда, что и приведет к поднятию поршня на величину \(d-\Delta x\). Поэтому \[\Delta x\,S_2=(d-\Delta x)(S_1-S_2).\] Отсюда \[\Delta x=\frac{S_1-S_2}{S_1}\,d=2{,}25\ \text{см}.\]

Нить нерастяжима: сумма всех удлинений участков должна равняться нулю. Найдите перемещение среднего блока за малый интервал времени.

\(v_1=11v\), груз 1 движется вверх.

Рассмотрим положение системы тел в какой-либо момент времени и найдем их перемещения за малый интервал времени \(\Delta t\), прошедший после этого момента. Верхний блок сдвинется вверх на величину \(2v\Delta t\), тело 2 (и, следовательно, нижний блок) — вниз на величину \(v\Delta t\), тело 3 — вниз на величину \(v\Delta t\). Эти перемещения приведут к тому, что в ряде участков потребуется дополнительная длина нити. Она может освободиться только при перемещении среднего блока вниз (см. рисунок; новые положения блоков показаны тонкими линиями). Найдем его перемещение.

Пусть средний блок опустился вниз на величину \(\Delta x\). Тогда в самом левом участке (от верхнего до нижнего блока) потребуется дополнительная нить длиной \(2v\Delta t+v\Delta t=3v\Delta t\); кусок нити от верхнего блока до среднего удлинится на \(2v\Delta t+\Delta x\); кусок нити от нижнего блока до среднего удлинится на \(v\Delta t-\Delta x\), на такую же величину удлинится участок нити от правого блока до груза. А поскольку нить нерастяжима, сумма всех удлинений должна равняться нулю: \[3v\Delta t+2v\Delta t+\Delta x+2\left(v\Delta t-\Delta x\right)=0.\] Отсюда находим, что \[\Delta x=7v\Delta t.\qquad(*)\] Теперь легко найти перемещение груза 1. Если бы верхний блок не перемещался, а перемещался только средний (правый), то за счет его перемещения на величину \(\Delta x=7v\Delta t\) веревка из области слева от верхнего блока будет вытянута на такую величину, и, следовательно, на такую величину поднимется тело 1. Но за счет подъема верхнего блока на \(2v\Delta t\) понадобится еще два кусочка веревки такой длины (слева и справа от верхнего блока). Поэтому груз 1 поднимется на величину \(11v\Delta t\), и его скорость будет равна \[v_1=11v,\] направлена вверх.