зад 1 Винни Пух возвращается за банкой
Винни Пух и Пятачок пошли в гости к Кролику и шли с постоянной скоростью \(v\). Когда они прошли одну седьмую часть пути, Винни Пух вспомнил, что забыл взять пустую банку для мёда, и решил вернуться за ней. С какой скоростью Винни Пух должен двигаться с этого момента, чтобы прийти к Кролику одновременно с Пятачком, который продолжал двигаться с той же скоростью?
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите оставшиеся пути Пятачка и Винни Пуха через длину пути \(l\) и приравняйте времена.
▶ОтветСкрыть
\(v_1 = \dfrac{4}{3}\,v\).
▶РешениеСкрыть
Пусть расстояние от дома Винни Пуха до дома Кролика равно \(l\). После того как Винни Пух пошёл за банкой, Пятачку осталось пройти \(\dfrac{6}{7}l\), а Винни Пуху — \(\dfrac{8}{7}l\). Времена движения должны совпадать: \[\frac{\frac{6}{7}l}{v} = \frac{\frac{8}{7}l}{v_1}.\] Отсюда \(v_1 = \dfrac{4}{3}\,v\).
зад 2 Железо в цилиндре с водой
В цилиндрический сосуд налита вода, уровень которой находится на высоте \(h = 1\) м от дна сосуда. В сосуд бросили несколько кусочков железа так, что они полностью покрыты водой. В этом положении средняя плотность воды с железом оказалась равной \(\rho_{\text{ср}} = 4\) г/см\(^3\). Насколько поднялся уровень воды в сосуде? Плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1\) г/см\(^3\), плотность железа \(\rho_{\text{ж}} = 7{,}8\) г/см\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Объём смеси вырос на объём кусочков железа. Выразите массы воды и железа через плотности и объёмы.
▶ОтветСкрыть
\(\Delta h = h\,\dfrac{\rho_{\text{ср}}-\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{ж}}-\rho_{\text{ср}}} \approx 0{,}79\) м.
▶РешениеСкрыть
Поскольку вода полностью покрывает кусочки железа, объём содержимого сосуда вырос ровно на объём кусочков. Средняя плотность \[\rho_{\text{ср}} = \frac{M+m}{(h+\Delta h)S},\] где \(M\) и \(m\) — массы воды и железа, \(S\) — площадь сечения сосуда. Выражая массы через плотности и объёмы, \(M = \rho_{\text{в}} hS\) и \(m = \rho_{\text{ж}}\,\Delta h\,S\), получаем \[\rho_{\text{ср}}(h+\Delta h) = \rho_{\text{в}}h + \rho_{\text{ж}}\Delta h.\] Отсюда \[\Delta h = h\,\frac{\rho_{\text{ср}}-\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{ж}}-\rho_{\text{ср}}} = 1\cdot\frac{4-1}{7{,}8-4} \approx 0{,}79\ \text{м}.\]
зад 3 Краска для открытого куба
Для покраски внутренней поверхности контейнера в форме открытого сверху куба было потрачено столько же краски, сколько нужно, чтобы покрасить пол в комнате площадью \(S = 20\) м\(^2\). Найти объём контейнера. На все поверхности краска наносится слоем одинаковой толщины.
▶ПодсказкаСкрыть
Внутренняя поверхность открытого куба состоит из пяти граней.
▶ОтветСкрыть
\(V = 8\) м\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Внутренняя поверхность контейнера (пять граней куба) имеет такую же площадь, как и пол комнаты: \[5a^2 = S,\] где \(a\) — длина ребра контейнера. Поэтому \(a = \sqrt{\dfrac{S}{5}}\), и объём \[V = a^3 = \left(\sqrt{\frac{S}{5}}\right)^3 = 8\ \text{м}^3.\]
зад 4 Три силы на одной прямой
На тело вдоль одной прямой действуют силы \(f_1\), \(f_2\) и \(f_3\), равнодействующая которых равна \(F = 20\) Н. Если направление силы \(f_1\) изменить на противоположное (не меняя величину), равнодействующая трёх сил не изменит направление, но уменьшится на \(\Delta F_1 = 8\) Н. Если изменить направление силы \(f_2\), равнодействующая изменит направление и уменьшится на \(\Delta F_2 = 6\) Н. Найти величину и направление (по отношению к силе \(F\)) сил \(f_1\), \(f_2\) и \(f_3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Считайте силы положительными, если они направлены так же, как \(F\), и составьте систему из трёх уравнений для каждого из случаев.
▶ОтветСкрыть
\(f_1 = 4\) Н, направлена так же, как \(F\); \(f_2 = 17\) Н, направлена так же, как \(F\); \(f_3 = 1\) Н, направлена противоположно \(F\).
▶РешениеСкрыть
Будем считать силы положительными, если они направлены так же, как \(F\). Тогда исходное условие и первое условие дают \[f_1 + f_2 + f_3 = F, \qquad -f_1 + f_2 + f_3 = F - \Delta F_1.\] Вычитая второе уравнение из первого: \[2f_1 = \Delta F_1 \quad\Rightarrow\quad f_1 = \frac{\Delta F_1}{2} = 4\ \text{Н} \quad\text{(направлена как }F\text{)}.\] Для второго условия (направление \(f_2\) изменено, равнодействующая стала \(-(F-\Delta F_2)\)): \[f_1 + f_2 + f_3 = F, \qquad f_1 - f_2 + f_3 = -(F - \Delta F_2).\] Вычитая второе уравнение из первого, получаем \[2f_2 = 2F - \Delta F_2 \quad\Rightarrow\quad f_2 = F - \frac{\Delta F_2}{2} = 17\ \text{Н} \quad\text{(направлена как }F\text{)}.\] Из первого условия \[f_3 = F - f_1 - f_2 = \frac{\Delta F_2 - \Delta F_1}{2} = -1\ \text{Н},\] то есть \(f_3 = 1\) Н, направлена противоположно \(F\).
зад 5 Пробка перед светофором
Перед светофором находится прямой участок дороги длиной \(L = 1\) км, заполненный «автомобильной пробкой». Зелёный сигнал включается на время \(\Delta t = 1\) мин, затем сразу же на то же время включается красный сигнал (время горения жёлтого мало). При включении зелёного сигнала автомобили одновременно начинают двигаться с некоторой скоростью \(v\), при включении красного — мгновенно останавливаются. Оказалось, что средняя на участке скорость автомобиля, въехавшего на него одновременно с включением зелёного сигнала, в 1,7 раза меньше \(v\). Найти \(v\).
▶ПодсказкаСкрыть
Рассмотрите отдельно случаи, когда автомобиль проезжает участок с одной, двумя и т. д. остановками, и найдите отношение \(v/v_{\text{ср}}\) в каждом из них.
▶ОтветСкрыть
\(v = 0{,}7\,\dfrac{L}{\Delta t} \approx 11{,}7\) м/с или \(v = 0{,}35\,\dfrac{L}{\Delta t} \approx 5{,}8\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Нужно рассмотреть скорости, при которых автомобиль делает разное число остановок на участке \(L\).
Первый случай, \(v > L/\Delta t\): остановок нет, \(v_{\text{ср}} = v\), отношение \(v/v_{\text{ср}} = 1\); значение \(1{,}7\) не получается.
Второй случай, \(\dfrac{L}{2\Delta t} < v < \dfrac{L}{\Delta t}\): одна остановка, \[\Delta t_2 = 2\Delta t + \frac{L-v\Delta t}{v} = \Delta t + \frac{L}{v}, \qquad \frac{v}{v_{\text{ср}}} = 1 + \frac{v\,\Delta t}{L}.\] На границах интервала отношение принимает значения от \(1{,}5\) до \(2\), значит, значение \(1{,}7\) достигается. Из \(1 + \dfrac{v\Delta t}{L} = 1{,}7\) находим \[v = 0{,}7\,\frac{L}{\Delta t} \approx 11{,}7\ \text{м/с}.\]
Третий случай, \(\dfrac{L}{3\Delta t} < v < \dfrac{L}{2\Delta t}\): две остановки, \[\Delta t_3 = 2\Delta t + \frac{L}{v}, \qquad \frac{v}{v_{\text{ср}}} = 1 + \frac{2v\,\Delta t}{L}.\] На границах интервала отношение принимает значения от \(1{,}66\) до \(2\), значит, значение \(1{,}7\) достигается. Из \(1 + \dfrac{2v\Delta t}{L} = 1{,}7\) находим \[v = 0{,}35\,\frac{L}{\Delta t} \approx 5{,}8\ \text{м/с}.\]
Четвёртый и следующие случаи: при трёх и более остановках отношение лежит в интервалах, не содержащих \(1{,}7\) (например, при трёх остановках отношение лежит в интервале от \(1{,}75\) до \(2\)). Поэтому подходят только два найденных значения скорости.