Росатом, 2019/20, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Сначала выясните, в каком месте схемы стоит резистор \(2R\) относительно двух резисторов \(R\). Затем запишите закон Ома для каждого резистора и условие отсутствия накопления заряда в узлах.

Подсказка

Изобразите силы, с которыми стержни действуют на шайбу: силы реакции и силы трения. Сравните сумму проекций сил трения с суммой проекций сил реакции на биссектрису угла \(\alpha\).

Ответ

заклинивание наступает при \(\mu \geqslant \operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\).

Решение

При действии на точки \(B\) и \(B'\) «сжимающих» сил возникнут силы реакции, действующие со стороны стержней на шайбу, сумма которых направлена от шарнира, соединяющего стержни. Эта сила будет действовать на шайбу, выталкивая её из системы стержней. С другой стороны, при этом возникнут силы трения, которые направлены к шарниру, скрепляющему стержни, и которые препятствуют движению шайбы (см. рисунок). Шайба будет двигаться, если сумма сил реакции (которые определяются тем, как мы сжимаем концы стержней \(B\), и потому могут быть любыми) будет превосходить сумму двух сил трения, которая будет направлена к шарниру \(A\). При этом силы трения будут принимать свои максимальные значения \(\mu N\). То есть движение будет, если \[2N\cos\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) \geqslant 2\mu N\cos\frac{\alpha}{2}\] или \[\mu \leqslant \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}.\] И соответственно движения не будет ни при какой силе \(N\) (т.е. произойдёт заклинивание), если \[\mu \geqslant \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}.\]

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для каждого тела и условия связи натяжений и ускорений. Рассмотрите по очереди три случая: покоится тело \(M\), покоится тело \(m\), покоится тело \(4m\).

Ответ

тело \(m\) может покоиться при \(M = \dfrac{16}{11}\,m\); тело \(M\) — при \(M = \dfrac{16}{5}\,m\); тело \(4m\) покоиться не может ни при какой массе \(M\).

Решение

Чтобы тело могло быть в покое, сумма действующих на него сил должна равняться нулю. Кроме того, должны выполняться условия связи сил натяжения (натяжение нижней верёвки должно быть вдвое меньшим натяжения верхней). И должны быть связаны ускорения тел: если в покое находится тело массой \(M\), ускорения тел \(m\) и \(4m\) равны друг другу и направлены противоположно; если в покое находится одно из тел \(m\) или \(4m\), ускорение второго тела и тела массой \(M\) должны отличаться вдвое. Проверим выполнимость этих условий для всех трёх возможных вариантов покоя тел.

1. Пусть в покое находится тело \(M\). Тогда сила натяжения верёвки, перекинутой через верхний блок, должна равняться \(Mg\), а сила натяжения верёвки, перекинутой через нижний блок, — \(Mg/2\). Ускорения тел \(m\) и \(4m\) в этом случае равны \[a_m = \frac{M/2 - m}{m}\,g, \qquad a_{4m} = \frac{4m - M/2}{4m}\,g.\] Приравнивая эти ускорения, получаем уравнение на массу \(M\), откуда находим \(M = \dfrac{16}{5}\,m\).

2. Пусть в покое находится тело \(m\). Тогда сила натяжения верёвки, перекинутой через нижний блок, равна \(mg\). Такая же сила действует и на второй груз, который в результате имеет ускорение, направленное вниз и равное \[a_{4m} = \frac{3}{4}\,g.\] На тело массой \(M\) следовательно, действует сила натяжения \(2mg\), которая сообщает этому телу ускорение \[a_M = \frac{2m - M}{M}\,g.\] А поскольку ускорение тела \(M\) в этом случае вдвое меньше ускорения тела \(4m\), то должно быть выполнено условие \[2\,\frac{2m - M}{M}\,g = \frac{3}{4}\,g,\] откуда находим \(M = \dfrac{16}{11}\,m\).

3. Пусть в покое находится тело \(4m\). Тогда сила натяжения верёвки, перекинутой через нижний блок, равна \(4mg\). Такая же сила действует и на второй груз, который в результате имеет ускорение, направленное вверх и равное \(a_m = 3g\). На тело массой \(M\) тогда действует сила натяжения \(8mg\), и его ускорение (направленное вниз) равно \[a_M = \frac{M - 8m}{M}\,g.\] А поскольку ускорение тела \(M\) должно быть вдвое больше ускорения тела \(m\), то \[3g = 2\,\frac{M - 8m}{M}\,g.\] Отсюда находим \(M = -16m\). Такого быть не может, поэтому этот случай не реализуется.

Таким образом, тело \(m\) может находиться в покое при \(M = \dfrac{16}{11}\,m\), тело \(M\) может находиться в покое при \(M = \dfrac{16}{5}\,m\), а тело \(4m\) в покое не может находиться ни при какой массе тела \(M\).

Подсказка

Запишите первый закон термодинамики для обоих процессов. Во втором процессе работа равна нулю, а количество теплоты связано с изменением температуры при известной теплоёмкости одноатомного газа при постоянном объёме.

Ответ

\(C = -\dfrac{R}{2} \approx -4{,}16\ \text{Дж/(моль·К)}\); в первом процессе газ получает энергию в результате теплообмена.

Решение

Пусть начальная температура газа в первом процессе — \(T_1\), конечная — \(T_2\). Тогда в первом процессе газ получает количество теплоты \(C\nu(T_2 - T_1)\) (\(C\) — молярная теплоёмкость газа в первом процессе, \(\nu\) — количество вещества газа). Поэтому первый закон термодинамики для первого процесса даёт \[C\nu(T_2 - T_1) = \frac{3}{2}\nu R(T_2 - T_1) + A.\] Второй процесс, происходящий с газом, — изохорический, с начальной температурой \(T_2\), конечной — \(T_1\). И поскольку в нём не совершается работа, а газ одноатомный, количество теплоты, сообщённое газу в этом процессе, определяется соотношением \[Q = \frac{3}{2}\nu R(T_1 - T_2).\] При этом по условию это количество теплоты положительно, поэтому \(T_1 > T_2\) (в первом процессе газ охлаждается, во втором нагревается). Выражая из этой формулы разность температур и подставляя её в первое уравнение, получим \[C = \frac{3}{2}\,R\,\frac{Q - A}{Q}.\] Используя теперь данные условия задачи (\(Q = \frac{3}{4}A\)), найдём \[C = -\frac{1}{2}R \approx -4{,}16\ \text{Дж/(моль·К)}.\] Теплоёмкость газа в первом процессе оказалась отрицательной (график процесса лежит между изотермой и адиабатой). А поскольку в этом процессе газ охлаждался, то он получает в нём положительное количество теплоты. Или, другими словами, в первом процессе газ получает энергию в результате теплообмена.

Подсказка

Покажите, что расстояние от тени до дорожки не зависит от положения мальчика, и найдите, как перемещается тень вдоль дорожки при его движении, через подобные треугольники.

Ответ

\(v_{\text{тени}} = \dfrac{Hv}{H-h}\); тень движется с постоянной скоростью.

Решение

Докажем, что тень от головы мальчика движется по прямой линии, параллельной дорожке. Для этого рассмотрим такое положение мальчика, когда расстояние от него до фонаря равно некоторой величине \(y\) (см. рисунок; мальчик схематически показан жирным вертикальным отрезком с шариком (головой) наверху). Тогда из подобия треугольников \(ABE\) и \(ACD\) (см. рисунок) имеем \[\frac{y}{DC} = \frac{H-h}{H},\] где \(H\) — высота фонаря (сторона \(AD\) в треугольнике \(ACD\)), \(H-h\) — сторона \(AE\) в треугольнике \(ABE\). Из этого соотношения находим \[OC = DC - y = \frac{hy}{H-h}.\] Теперь из подобия треугольников \(ODM\) и \(OCN\) находим расстояние от тени от головы мальчика до дорожки (\(l_1 = NC\)): \[\frac{l_1}{l} = \frac{OC}{OD} = \frac{h}{H-h} \quad\Rightarrow\quad l_1 = \frac{lh}{H-h}.\] Из полученной формулы следует, что расстояние от тени от головы мальчика до дорожки не зависит от положения мальчика, и, следовательно, тень движется по прямой, параллельной дорожке.

Поэтому, чтобы найти скорость тени, нужно следить только за её координатой вдоль дорожки (а не поперёк, поскольку последняя, как мы доказали, не меняется). Расстояние от тени до точки \(Q\), ближайшей к траектории тени до основания фонаря, \(CQ\) (см. рисунок), также можно найти из подобия треугольников \(ODM\) и \(OCN\): \[\frac{NO}{OM} = \frac{l_1}{l} = \frac{h}{H-h} \quad\Rightarrow\quad NO = \frac{h}{H-h}\,OM, \qquad CQ = NO + OM = \frac{H}{H-h}\,OM.\] Когда мальчик идёт, расстояние \(OM\) уменьшается со скоростью \(v\), соответственно уменьшается и расстояние \(CQ\) — перемещается тень. Если мальчик пройдёт малое расстояние \(\Delta x\), отрезок \(OM\) уменьшится на величину \(\Delta x\), а расстояние \(CQ\) уменьшится на величину \[\Delta z = \frac{H}{H-h}\,\Delta x,\] которая и представляет собой перемещение тени. Отсюда находим скорость тени: \[v_{\text{тени}} = \frac{\Delta z}{\Delta t} = \frac{H}{H-h}\,\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{Hv}{H-h}.\] Поскольку эта величина не зависит от положения мальчика, тень движется с постоянной скоростью.