Росатом, 2019/20, заключительный этап, 9 класс

Идеальные амперметры соединяют точки в один узел. Найдите, какое напряжение на резисторе \(2R\) и можно ли его выбросить, затем эквивалентные сопротивления двух частей цепи.

\(I_{A_1} \approx 0{,}104\) А, \(I_{A_2} \approx 0{,}039\) А.

Поскольку напряжение на сопротивлении \(2R\) в верхнем колене цепи равно нулю, это сопротивление можно выбросить. Оставшаяся цепь состоит из двух участков: первый — из параллельно соединённых \(R\) и двух последовательных \(R\), его сопротивление \(R_1 = \dfrac{2}{3}R\); второй — из параллельно соединённых \(3R\) и \(R\), его сопротивление \(R_2 = \dfrac{3}{4}R\).

Напряжения на этих участках относятся как их сопротивления: \(U_1 : U_2 = R_1 : R_2 = 8 : 9\), а \(U_1 + U_2 = U\). Поэтому \(U_1 = \dfrac{8}{17}U\), \(U_2 = \dfrac{9}{17}U\).

Токи через амперметры: \[I_{A_1} = \frac{U_1}{R} = \frac{8U}{17R} \approx 0{,}104~\text{А}, \qquad I_{A_2} = \frac{U_2}{3R} = \frac{3U}{17R} \approx 0{,}039~\text{А}.\]

Запишите расстояние \(AB\) через скорость и время в пути первых двух машин, чтобы найти время выезда из города А.

\(v_3 = \dfrac{v}{2}\).

Применяя формулу «расстояние-время-скорость» к первой и второй машинам, получим \(v(t - t_0) = \dfrac{2v}{3}(t + 1 - t_0)\), где \(t_0\) — время выхода машин из города А. Отсюда \(t_0 = t - 2\).

Теперь применяя ту же формулу к первой и третьей машинам, получим \(v\cdot 2 = v_3\cdot 4\), откуда \(v_3 = \dfrac{v}{2}\).

Сначала сдвинется брусок с меньшим трением. Найдите связь ускорения блока и ускорения этого бруска, затем условие, при котором сдвинется и второй брусок.

\(a_{\min} = \dfrac{\mu g}{2}\).

При небольшом ускорении блока сила натяжения веревки мала и сдвинуть может только брусок с меньшим трением; второй брусок в этом случае стоит. Пусть ускорение блока \(a\) таково, что брусок с меньшим трением движется, а с большим — покоится.

Второй закон Ньютона для движущегося бруска (проекция на ось вдоль ускорения блока): \[m a_1 = T - \mu m g,\] где \(a_1\) — ускорение движущегося бруска. Если блок переместился на \(\Delta x\), то с той стороны, где стоит покоящийся брусок, требуется лишний кусок веревки длиной \(\Delta x\), поэтому с другой стороны веревка становится короче на \(\Delta x\), а точка, откуда начинается веревка к движущемуся бруску, тоже смещается на \(\Delta x\). Значит, перемещение бруска \(2\Delta x\), и \(a_1 = 2a\). Тогда \[T = 2ma + \mu m g.\] Сила \(T\) растёт с ускорением блока. Второй брусок начнёт двигаться, когда \(T\) достигнет максимальной силы трения \(2\mu m g\): \[2ma + \mu m g \ge 2\mu m g \quad\Rightarrow\quad a \ge \frac{\mu g}{2}.\]

В стационарном режиме выделяемая в проводнике теплота равна теплоте, отданной в окружающую среду, которая пропорциональна перегреву и площади боковой поверхности. Запишите это для обоих случаев.

\(\Delta T' = \dfrac{100}{81}\,\Delta T \approx 12{,}3\) °C.

В стационарном режиме количество теплоты, выделившейся в проводнике, равно количеству теплоты, отданному им в окружающую среду. Последнее пропорционально разности температур проводника и среды и площади боковой поверхности \(S\): \(\dfrac{U^2}{r} = \alpha\,\Delta T\, S\), где \(U\) — напряжение источника, \(r\) — сопротивление проводника, \(\alpha\) — коэффициент пропорциональности для мощности теплопотерь.

Когда от проводника отрезали одну десятую часть, его сопротивление и площадь боковой поверхности уменьшились на одну десятую: \(r' = \dfrac{9}{10}r\), \(S' = \dfrac{9}{10}S\). Условие теплового равновесия: \(\dfrac{U^2}{r'} = \alpha\,\Delta T'\,S'\).

Деля второе соотношение на первое, получаем \(\dfrac{\Delta T'}{\Delta T} = \dfrac{100}{81}\), откуда \(\Delta T' \approx 12{,}3\) °C.

Запишите радиус-вектор тела как сумму начальной скорости, умноженной на время, и \(g t^2/2\), отсчитывая его от точки А. Выразите вектор \(\vec{AD}\) через \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\).

Положение тела в момент \(3\tau\) — точка D, для которой \(\overrightarrow{AD} = 3\,(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = 3\,\overrightarrow{BC}\): вектор \(\overrightarrow{BC}\) утраивают и откладывают от точки А.

Отсчитаем радиус-вектор тела от точки А. Для движения с постоянным ускорением \(\vec g\) имеем \(\vec R(t) = \vec v_0 t + \dfrac{\vec g t^2}{2}\). Обозначим \(\vec P = \vec v_0\tau\) и \(\vec Q = \dfrac{\vec g\tau^2}{2}\). Тогда \(\overrightarrow{AB} = \vec P + \vec Q\) и \(\overrightarrow{AC} = 2\vec P + 4\vec Q\), откуда \(\vec Q = \dfrac{\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AB}}{2}\) и \(\vec P = \overrightarrow{AB} - \vec Q\).

Положение тела в момент \(3\tau\): \[\vec R(3\tau) = 3\vec P + 9\vec Q = 3\overrightarrow{AB} + 6\vec Q = 3\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AB} = 3\,\overrightarrow{BC}.\] Для построения циркулем и линейкой достаточно провести вектор \(\overrightarrow{BC}\) (от точки В к точке С), утроить его и отложить от точки А; конец этого вектора и есть точка D.