Росатом, 2021/22, заключительный этап, 7 класс

Уровень воды поднимется на \(\Delta h_1 = 4\) см, уровень масла опустится на \(\Delta h_2 = 1\) см.

Так как плотность масла меньше плотности воды, масло плавает поверх воды. Объём вытесненной льдом воды равен \(S\Delta h\). Подъём уровня масла вдвое больше подъёма уровня воды, поэтому половина объёма льда \(V\) находится в воде, половина — в масле.

При таянии этого льда образуется объём воды \[V_{\text{в}} = \frac{\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{в}}}\,V = 0{,}9\,V.\] Половина этой воды заполняет объём, вытесненный льдом (\(0{,}5V\)), а оставшиеся \(0{,}4V\) поднимают уровень воды: \[\Delta h_1 = \frac{0{,}4}{0{,}5}\,\Delta h = 4~\text{см}.\] После таяния лёд перестаёт вытеснять масло, и его уровень должен был бы упасть на \(\Delta h = 5\) см. Но поскольку уровень воды поднялся на \(4\) см, масло, плавающее на воде, поднимется на те же \(4\) см. Итоговое изменение уровня масла \[\Delta h_2 = 4 - 5 = -1~\text{см}.\]

\(m_C = \dfrac{3}{2}\,m\).

Пусть \(V_A\), \(V_B\), \(V_C\) — объёмы сосудов. При открытом кране 1 воздух в А имеет атмосферную плотность \(m/V_A\).

Когда кран 1 закрыт, а открыт кран 2, весь воздух (масса \(m\)) равномерно занимает сосуды А и В, поэтому в В оказывается \[m_B = \frac{V_B}{V_A+V_B}\,m = \frac{7}{9}\,m, \qquad\Rightarrow\qquad V_B = \frac{7}{2}\,V_A.\] Когда открыт и кран 3, та же масса \(m\) равномерно занимает А, В и С, поэтому \[m_C = \frac{V_C}{V_A+V_B+V_C}\,m = \frac{m}{4} \qquad\Rightarrow\qquad V_C = \frac{V_A+V_B}{3} = \frac{3}{2}\,V_A.\] Если открыть все три крана, сосуд А остаётся сообщённым с атмосферой, и плотность воздуха во всех сосудах становится атмосферной, т.е. равной \(m/V_A\). Поэтому \[m_C = \frac{m}{V_A}\,V_C = \frac{3}{2}\,m.\]

Перелёт длился \(5\) часов; время в городе В на \(3\) часа меньше, чем в городе А.

Пусть время полёта из А в В и из В в А равно \(x\), а время в городе В отстаёт от времени в городе А на \(\tau\). Тогда полёт туда и полёт обратно дают уравнения \[x - \tau = t_2 - t_1 = 2, \qquad x + \tau = (t_4 + 24) - t_3 = 8,\] где при записи второго уравнения учтено, что \(6\) часов утра следующего дня соответствуют \(30\) часам по шкале, в которой отсчитывается \(t_3\). Складывая уравнения, находим \(x = 5\) часов, а вычитая — \(\tau = 3\) часа.

Тела тонут: их плотность в воде \(1050\) кг/м\(^3\), что больше \(\rho_0\).

Сравним плотность тела из этого материала в воде с плотностью воды. Пусть исходный объём тела \(V\), его масса \(m = \rho V\). В воде тело впитывает массу воды \(\rho_0\cdot 1{,}9\,V\), и его масса становится \[m_1 = \rho V + 1{,}9\,\rho_0 V.\] Объём тела в воде становится равным \(2V\), поэтому его плотность в воде \[\rho_1 = \frac{m_1}{2V} = \frac{\rho + 1{,}9\rho_0}{2} = \frac{200 + 1900}{2}~\text{кг/м}^3 = 1050~\text{кг/м}^3.\] Так как \(\rho_1 > \rho_0\), тело будет тонуть.

\(L = \dfrac{S\,(w^2+uv)}{2vw}\).

Перейдём в систему отсчёта, связанную с водой. В ней корабли плывут навстречу друг другу с одинаковыми скоростями \(v\), а катер в обоих направлениях движется с одинаковой скоростью \(w\). Поэтому время курсирования катера равно времени \(t\) встречи кораблей: \[t = \frac{S}{2v}.\] Пусть \(t_1\) — полное время движения катера «по течению» (к второму кораблю), а \(t_2\) — полное время движения «против течения». Тогда \[t_1 + t_2 = t.\] В системе воды корабли встречаются посередине между начальными положениями, поэтому катер в одном направлении проходит на \(S/2\) больше, чем в другом: \[w t_1 - w t_2 = \frac{S}{2}.\] Отсюда \[t_1 = \frac{t}{2} + \frac{S}{4w} = \frac{S}{4v} + \frac{S}{4w}, \qquad t_2 = \frac{S}{4v} - \frac{S}{4w}.\] В системе берега катер движется по течению со скоростью \(w+u\), против течения — со скоростью \(w-u\), поэтому пройденный им путь \[L = (w+u)\,t_1 + (w-u)\,t_2 = \frac{wS}{2v} + \frac{uS}{2w} = \frac{S\,(w^2+uv)}{2vw}.\]