Росатом, 2022/23, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Уравнение теплового баланса для каждого опускания записывайте через разность температур детали и масла. Как эта разность меняется от сосуда к сосуду?

Ответ

\(\Delta t_3 = \dfrac{\Delta t_2^2}{\Delta t_1} \approx 0{,}42\,\text{°C}\); первоначальная температура детали \(t = t_0 + \dfrac{\Delta t_1^2}{\Delta t_2} = 740\,\text{°C}\).

Решение

Пусть теплоёмкость сосуда с маслом равна \(C_0\), теплоёмкость детали \(C\), начальная температура детали \(t\). Установившаяся температура масла в первом сосуде равна \(t_0 + \Delta t_1\), уравнение теплового баланса: \[C_0\,\Delta t_1 = C\,(t - t_0 - \Delta t_1).\] Отсюда \[\Delta t_1 = \frac{C\,(t - t_0)}{C + C_0}.\] Разность температур детали и масла при опускании во второй сосуд равна \(\Delta t_1\), а теплоёмкости не изменились, поэтому \[\Delta t_2 = \frac{C\,\Delta t_1}{C + C_0}.\] Аналогично для третьего сосуда \[\Delta t_3 = \frac{C\,\Delta t_2}{C + C_0}.\] Выражая из второго соотношения \(C/(C + C_0)\) и подставляя его в третье и в первое, получаем \[\Delta t_3 = \frac{\Delta t_2^2}{\Delta t_1} \approx 0{,}42\,\text{°C}, \qquad t = t_0 + \frac{\Delta t_1^2}{\Delta t_2}.\]

Подсказка

На тело действуют две силы: сила тяжести и сила реакции опоры, перпендикулярная поверхности конуса. Их равнодействующая задаёт центростремительное ускорение.

Ответ

\(\omega = \sqrt{\dfrac{g\,\ctg\alpha}{r}}\).

Решение

Поскольку поверхность конуса гладкая и тело движется на одной и той же высоте, его скорость не меняется. На тело действуют сила реакции опоры \(N\) и сила тяжести \(mg\); их сумма направлена к центру окружности и равна \(m\omega^2 r\). Проекции второго закона Ньютона на вертикальную ось и ось, направленную к центру окружности: \[0 = N\sin\alpha - mg, \qquad m\omega^2 r = N\cos\alpha .\] Отсюда \[\omega = \sqrt{\frac{g\,\ctg\alpha}{r}}.\]

Подсказка

Сравните объём воды, который даст льдинка при таянии, с объёмом её погружённой части. Условия равновесия льдинок в обоих сосудах запишите через силу натяжения.

Ответ

Уровень воды в сосудах не изменится; из большого сосуда в малый перетечёт объём \(V = \dfrac{T}{\rho_0 g} = 100\text{ см}^3\) воды.

Решение

Объёмы погружённых частей льдинок находим из условий их равновесия. Для льдинки в малом сосуде (нить тянет вниз) \[mg + T = \rho_0 g\,V_{п.ч.}^{(1)},\] для льдинки в большом сосуде (нить тянет вверх) \[mg = T + \rho_0 g\,V_{п.ч.}^{(2)}.\] Сложив, получим суммарный объём погружённых частей \[V_{п.ч.}^{(1)} + V_{п.ч.}^{(2)} = \frac{2m}{\rho_0}.\] При таянии двух льдинок массы \(m\) получится объём воды \(V_{воды} = \dfrac{2m}{\rho_0}\). Эти объёмы равны, значит, уровень воды в сосудах не изменится.

Однако вода будет перетекать: объём воды, полученный при таянии льдинки в каждом сосуде, не равен объёму её погружённой части. Из уравнения для малого сосуда \[V_{п.ч.}^{(1)} - V_{воды}^{(1)} = \frac{T}{\rho_0 g} > 0,\] то есть воды от таяния льдинки в малом сосуде не хватает, чтобы заполнить её погружённую часть. Поэтому этот объём воды перетечёт в малый сосуд из большого. Таким образом, из большого сосуда в малый перетечёт объём \[V = \frac{T}{\rho_0 g} = 100\text{ см}^3 .\] От площади сечений сосудов результаты не зависят.

Подсказка

Запишите баланс объёмов воды и тела для каждого из трёх положений: сколько объёма тела находится под водой и какова площадь дна сосуда?

Ответ

\(V = \dfrac{a\,c\,h_2\,(b - h_1)}{h_1 - h_2} = 90\text{ см}^3\);  \(h_3 = \dfrac{a\,h_2\,(b - h_1)}{a\,(b - h_2) - b\,(h_1 - h_2)} = 2\text{ см}\).

Решение

В первом случае брусок весь находится под водой, во втором и в третьем — только часть бруска. Если объём воды в сосуде равен \(V\), а площадь дна сосуда \(S\), то баланс объёмов дает: \[S h_1 = V + abc, \qquad S h_2 = V + ac\,h_2, \qquad S h_3 = V + bc\,h_3 .\] Из первых двух уравнений находим объём воды и площадь дна сосуда: \[V = \frac{ac\,h_2\,(b - h_1)}{h_1 - h_2} = 90\text{ см}^3, \qquad S = \frac{ac\,(b - h_2)}{h_1 - h_2} = 60\text{ см}^2 .\] Подставив их в уравнение для третьего случая, получим \[h_3 = \frac{a\,h_2\,(b - h_1)}{a\,(b - h_2) - b\,(h_1 - h_2)} = 2\text{ см}.\]

Подсказка

Условие равновесия моментов относительно центра трубы даёт связь натяжения нити и силы трения. Найдите силу реакции плоскости из уравнения сил.

Ответ

\(\mu \ge \tg\alpha\).

Решение

На трубу действуют сила тяжести \(m\vec g\), сила реакции плоскости \(\vec N\), сила натяжения нити \(\vec T\) и сила трения \(\vec F_{тр}\), направленная вверх вдоль плоскости. Условие моментов относительно центра трубы даёт \(TR = F_{тр}R\), откуда \(T = F_{тр}\). Из условия моментов относительно точки касания трубы и плоскости \[T\,(R + R\sin\alpha) = mgR\sin\alpha \quad\Rightarrow\quad T = \frac{mg\sin\alpha}{1 + \sin\alpha},\] поэтому \[F_{тр} = \frac{mg\sin\alpha}{1 + \sin\alpha}.\] Условие покоя: \(F_{тр} \le \mu N\). Сила реакции из уравнения сил: \[N = mg\cos\alpha - T\cos\alpha = \frac{mg\cos\alpha}{1 + \sin\alpha}.\] Условие покоя трубы: \[\frac{mg\sin\alpha}{1 + \sin\alpha} \le \mu\,\frac{mg\cos\alpha}{1 + \sin\alpha} \quad\Rightarrow\quad \mu \ge \tg\alpha .\]

Подсказка

Найдите вольтметры, между концами которых напряжение равно нулю: их можно убрать из цепи. Дальше цепь сводится к последовательному и параллельному соединению.

Ответ

\(U_1 = U_2 = 5\text{ В}\); \(U_3 = U_5 = 3\text{ В}\); \(U_6 = U_7 = 2\text{ В}\); \(U_8 = U_{10} = U_{11} = U_{12} = 1\text{ В}\); \(U_4 = U_9 = 0\).

Решение

Обозначения точек — на рисунке.

Пусть к цепи приложено напряжение \(U\). Напряжение между точками Б, Д и З равно нулю, следовательно, показания вольтметров \(V_4\) и \(V_9\) нулевые: \(U_4 = U_9 = 0\). Эти вольтметры можно удалить из цепи без изменения токов в каких-либо её участках. Цепь эквивалентна показанной ниже, где напряжение делится пополам на правую и левую половины цепи:

Показания вольтметров \(V_1\) и \(V_2\): \(U_1 = U_2 = \dfrac{U}{2}\). Напряжение на участке А–З,Д равно \(U/2\), сопротивление участка Г–З,Д составляет \(r_{Г-З,Д} = \dfrac{2r}{3}\), где \(r\) — сопротивление вольтметра. Напряжение делится между участками А–Г и Г–З,Д в пропорции \(1 : \tfrac{2}{3}\). Поэтому на вольтметре \(V_3\) (участок А–Г) напряжение равно \(\tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{U}{2}\), а на вольтметрах \(V_6\), \(V_8\) и \(V_{11}\) — \(\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{U}{2}\): \[U_3 = \frac{3}{10}U, \quad U_6 = \frac{2}{10}U, \quad U_8 = U_{11} = \frac{1}{10}U .\] Аналогично \[U_5 = \frac{3}{10}U, \quad U_7 = \frac{2}{10}U, \quad U_{10} = U_{12} = \frac{1}{10}U .\] Сумма показаний всех вольтметров равна \(U_0\): \[\frac{24}{10}\,U = U_0 \quad\Rightarrow\quad U = \frac{10}{24}\,U_0 .\] Отсюда показания вольтметров: \[U_1 = U_2 = \frac{5}{24}U_0 = 5\text{ В}, \qquad U_3 = U_5 = \frac{3}{24}U_0 = 3\text{ В}, \qquad U_4 = U_9 = 0,\] \[U_6 = U_7 = \frac{2}{24}U_0 = 2\text{ В}, \qquad U_8 = U_{10} = U_{11} = U_{12} = \frac{1}{24}U_0 = 1\text{ В}.\]