Росатом, 2022/23, отборочный этап, 10 класс

Выразите сопротивления резисторов через \(U\) и их мощности, затем найдите сопротивление всей цепи.

\(P' = \dfrac{3}{2}\,P\).

Пусть напряжение, которое подключали к резисторам, равно \(U\). Сопротивления резисторов: \[R_1 = \frac{U^2}{P} = R, \qquad R_2 = \frac{U^2}{2P} = \frac{R}{2}, \qquad R_3 = \frac{U^2}{3P} = \frac{R}{3}.\] Сопротивление всей цепи \[r = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} + R_3 = \frac{2R}{3}.\] Поэтому мощность, выделяющаяся на всей цепи, \[P' = \frac{U^2}{r} = \frac{3U^2}{2R} = \frac{3}{2}\,P .\]

Учтите, что при диссоциации меняется число молей азота (и его молярная масса в смысле числа частиц). Используйте закон Дальтона для смеси до и после нагрева.

\(p_1 = \dfrac{2\,(3\mu_{N_2} + 5\mu_{He})}{3\,(\mu_{N_2} + \mu_{He})}\,p \approx 2{,}2\cdot 10^6\) Па.

Пусть массы гелия и азота в сосуде равны \(m\). Для первоначальной смеси \[pV = m\left(\frac{1}{\mu_{He}} + \frac{1}{\mu_{N_2}}\right) RT,\] где \(V\) — объём сосуда, \(T\) — температура смеси в начальном состоянии.

При двукратном увеличении температуры \(2/3\) молекул азота диссоциируют; их молярная масса становится равной \(\mu_{N_2}/2\). Поэтому количество вещества азота после диссоциации \[\frac{(2m/3)}{\mu_{N_2}/2} + \frac{(m/3)}{\mu_{N_2}} = \frac{5m}{3\mu_{N_2}}.\] Для давления \(p_1\) смеси в том же сосуде при удвоенной абсолютной температуре \[p_1 V = m\left(\frac{1}{\mu_{He}} + \frac{5}{3\mu_{N_2}}\right) R\cdot 2T .\] Деля это уравнение на первое, получаем \[p_1 = \frac{2\,(3\mu_{N_2} + 5\mu_{He})}{3\,(\mu_{N_2} + \mu_{He})}\,p \approx 2{,}2\cdot 10^6\text{ Па}.\]

Минимальная масса песка определяется условием, что сила тяжести песка уравновешивает максимальную силу трения покоя, действующую на тело \(2m\) на столе.

\(a = \dfrac{\mu g}{2\,(1 + \mu)}\).

Сначала найдём минимальную массу песка, при которой тела сдвинутся с места. Поскольку массы чашки и подвешенного с другой стороны тела одинаковы, для того чтобы тело \(2m\) сдвинулось, сила тяжести песка должна быть равна максимальной силе трения покоя: \[m_1 g = \mu\,2mg \quad\Rightarrow\quad m_1 = 2\mu m .\] Рассмотрим случай, когда масса песка в чашке \(m_2 = 4\mu m\). Уравнения движения в проекции на направление движения: \[ma = T_1 - mg, \qquad 2ma = T_2 - T_1 - 2\mu mg, \qquad (m + 4\mu m)\,a = (m + 4\mu m)\,g - T_2,\] где \(a\) — ускорение тел, \(T_1\) и \(T_2\) — силы натяжения левой и правой нитей. Складывая эти уравнения, находим \[a = \frac{\mu g}{2\,(1 + \mu)}.\]

Стержень невесом, поэтому суммы сил и моментов сил, действующих на него, равны нулю. Какая связь между ускорениями тел, закреплённых на стержне?

Тело массой \(2m\) — ускорение \(g/11\), направлено вверх; тело массой \(m\) — ускорение \(3g/11\), направлено вниз.

Поскольку стержень невесом, сумма сил и сумма моментов всех сил, действующих на него, равны нулю. В частности, для моментов сил, действующих на стержень со стороны тел: \[\frac{l}{4}\,N_1 = \frac{3l}{4}\,N_2 \quad\Rightarrow\quad N_1 = 3N_2 \qquad (*)\] (см. рисунок).

Второй закон Ньютона для тел (в проекциях на вертикальную ось, направленную вниз): \[2m\,a_1 = 2mg - N_1, \qquad m\,a_2 = mg - N_2,\] где \(a_1\) и \(a_2\) — проекции ускорений тел на эту ось. Учитывая \((*)\), а также условие связи \(a_2 = -3a_1\), получаем \[a_1 = -\frac{1}{11}\,g, \qquad a_2 = \frac{3}{11}\,g .\] Знак минус у ускорения первого тела означает, что его ускорение направлено вверх.

Идеальный вольтметр можно убрать из цепи, идеальный амперметр заменить проводом. Есть ли ток по соединяющему проводу между средними точками верхней и нижней ветвей?

\(U_V = 0\), \(I_A = 0\), \(R_\Omega = \dfrac{(R_1 + R_2)(R_4 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} + \dfrac{R_3 R_6}{R_3 + R_6} = 3\) Ом.

Поскольку вольтметр и амперметр идеальные, вольтметр можно удалить из цепи без изменения токов во всех её элементах, а амперметр — заменить куском провода, не имеющим сопротивления. Тогда цепь сводится к цепи, показанной на рисунке, причём вольтметр измеряет напряжение между точками А и В, а амперметр — разность токов через сопротивления 2 и 3 (или 5 и 6). Напряжение между точками А и В равно нулю: \[U_{AB} = U_0\,\frac{R_1}{R_1 + R_2} - U_0\,\frac{R_4}{R_4 + R_5} = \frac{U_0\,(R_1 R_5 - R_2 R_4)}{(R_1 + R_2)(R_4 + R_5)} = \frac{U_0\,(3\cdot 2 - 6\cdot 1)}{(R_1 + R_2)(R_4 + R_5)} = 0,\] где \(U_0\) — напряжение на участке параллельно соединённых резисторов \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), \(R_4\). Поэтому \(U_V = 0\).

По проводам, соединяющим верхнюю и нижнюю ветви цепи, ток не течёт, так как для заданных резисторов выполнено условие \[(R_1 + R_2)\,R_6 = (R_4 + R_5)\,R_3 .\] Цепь сводится к сбалансированному мостику Уитстона, через который ток не течёт, поэтому \(I_A = 0\).

Общее сопротивление цепи, которое и показывает омметр: \[R_{об} = \frac{(R_1 + R_2)(R_4 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} + \frac{R_3 R_6}{R_3 + R_6} = 3\text{ Ом}.\]

Пробирка находится в равновесии под действием моментов сил относительно её нижней точки. Где приложена сила Архимеда?

\(m = \dfrac{1}{4}\,\rho\,l\,S\).

На пробирку действуют сила тяжести (приложена к её середине), сила реакции дна сосуда, сила со стороны точечного тела, равная его силе тяжести, и сила Архимеда. Сила Архимеда приложена к центру тяжести погружённой части пробирки, то есть к точке на расстоянии четверти длины пробирки от её дна. Уравнение моментов относительно нижней точки пробирки: \[mg\,\frac{l}{2} = F_A\,\frac{l}{4} ,\] где \(m\) — масса пустой пробирки. Отсюда \(F_A = 2mg\). С другой стороны, \[F_A = \rho g\,S\,\frac{l}{2}.\] Следовательно, \[m = \frac{1}{4}\,\rho\,l\,S .\]