Росатом, 2022/23, отборочный этап, 8 класс

Найдите, какую долю объёма материала занимают поры, по первой порции воды. Сколько воды останется над материалом после второй порции?

\(\Delta h = \dfrac{V(2h-H)}{hS} = 1{,}7\) см.

Из условия заключаем, что объём пор в материале объёмом \(V_1 = hS = 1{,}2\) л равен величине \(V = 1\) л. Следовательно, объёмная доля пор в материале составляет \[\eta = \frac{V}{V_1} = \frac{V}{hS} = 0{,}833.\] Поэтому объём пор \(V_2\) в оставшемся сухом материале составляет \[V_2 = \eta\,(H-h)\,S = \frac{V(H-h)}{h}.\] Поскольку этот объём меньше объёма \(V\), при наливании в сосуд ещё воды с таким же объёмом \(V\) этот объём будет заполнен, и останется вода объёмом \[\Delta V = V - V_2 = V - \frac{V(H-h)}{h} = \frac{V(2h-H)}{h}.\] Эта вода расположится выше материала, причём уровень воды над поверхностью материала составит \[\Delta h = \frac{\Delta V}{S} = \frac{V(2h-H)}{hS} = 1{,}7~\text{см}.\]

«Поезд находился на мосту» — от въезда локомотива до выезда последнего вагона. «Проезжал мимо обходчика» — от прохода головы до прохода хвоста поезда относительно точки. Запишите оба времени.

\(t = 80\) с;  \(L/l = 2\).

Очевидно, искомое время находится как \[t = \frac{L}{v},\] где \(L\) — длина моста, \(v\) — скорость поезда. Найдём её из приведённых данных. «Поезд находился на мосту» означает, что какая-то его точка находится на мосту. Поэтому это время начинается, когда на мост въезжает локомотив, и заканчивается, когда с моста съезжает последний вагон. Поэтому \[t_1 = \frac{L+l}{v} = \frac{L}{v} + \frac{l}{v}.\] «Поезд проезжает мимо обходчика» означает, что какая-то его точка находится напротив обходчика. Поэтому \[t_2 = \frac{l}{v}.\] Вычитая формулу для \(t_2\) из формулы для \(t_1\), найдём время нахождения на мосту любого пассажира: \[t = t_1 - t_2 = \frac{2}{3}\,t_1 = 80~\text{с}.\] Деля теперь первое равенство на второе, найдём отношение длины моста к длине поезда: \[\frac{L}{l} = \frac{t_1}{t_2} - 1 = 2,\] т.е. длина моста в 2 раза больше длины поезда.

Запишите условие равновесия груза в каждом случае: сила упругости пружины уравновешивает силу \(F\) и силу тяжести (в первом случае — с той же стороны, что и \(F\), во втором — с противоположной).

\(F_т / F = 1/3\).

Поскольку в первом случае пружину растягивает сумма силы тяжести груза и внешней силы \(F\), а во втором случае их разность, пружина растянута сильнее в первом случае. А поскольку пружина растянута и в первом, и во втором случае, внешняя сила больше силы тяжести груза. Поэтому закон Гука для пружины в первом и втором случаях даёт \[k\,2\Delta x = F + F_т, \quad k\,\Delta x = F - F_т,\] где \(2\Delta x\) и \(\Delta x\) — удлинения пружины в первом и втором случаях, \(k\) — жёсткость пружины, \(F_т\) — сила тяжести груза. Отсюда находим \[2\,(F - F_т) = F + F_т.\] Вынося за скобку в правой и левой частях силу \(F\), получим \[2\left(1 - \frac{F_т}{F}\right) = 1 + \frac{F_т}{F}.\] Отсюда окончательно находим \[\frac{F_т}{F} = \frac{1}{3}.\]

Из условия плавания найдите, какая доля льдины погружена в воду. Критическая ситуация — когда уровень воды достигает края сосуда.

\(b = \sqrt[3]{\dfrac{5}{9}}\,a\).

Из закона Архимеда следует, что при плавании льдины в воду погружено девять десятых её объёма. Действительно, условие плавания льдины даёт \[mg = \rho_0 g V_{п.ч.},\] где \(m\) — масса льдины, \(g\) — ускорение свободного падения, \(\rho_0\) — плотность воды, \(V_{п.ч.}\) — объём погружённой в воду части льдины. Поскольку \(m = \rho V\) (\(\rho\) — плотность льда), из условия плавания заключаем, что доля погружённой в воду части льдины составляет девять десятых её объёма: \[\frac{V_{п.ч.}}{V} = \frac{\rho}{\rho_0} = 0{,}9.\] А это означает, что «опасным» будет выливание воды через край сосуда, а не касание льдиной дна сосуда. Действительно, при увеличении объёма льдины с одной стороны поднимается уровень воды в сосуде, с другой — нижние точки плавающей льдины приближаются ко дну сосуда. Но поскольку сосуд и льдина кубические, то если льдина займёт всю площадь сосуда (см. первый рисунок в решении), дна доставать она не будет, так как в воду погружается девять десятых её объёма.

Итак, «критический» размер ребра льдины \(b\) отвечает ситуации, когда уровень воды в сосуде достиг края сосуда. Это значит, что объём воды в сосуде плюс объём погружённой в воду части льдины должны равняться объёму сосуда. Учитывая, что объём воды в сосуде равен половине объёма сосуда и что в воду погружены девять десятых объёма льдины, условие критичности ситуации даёт \[\frac{1}{2}a^3 + \frac{9}{10}b^3 = a^3.\] Отсюда находим \[b = \sqrt[3]{\frac{5}{9}}\,a.\]

Момент силы тяжести каждой части стержня равен её массе, умноженной на плечо её центра масс относительно опоры. Не забудьте, что исходная левая половина стержня тоже даёт момент.

\(m = \dfrac{5}{24}\,M\).

Чтобы рычаг находился в равновесии, моменты сил, действующие на правую и левую от опоры части рычага, должны равняться друг другу. На левую часть рычага действует такой момент сил \[N_{лев} = \frac{1}{8}\,Mgl,\] где \(M\) — масса всего стержня, \(l\) — его длина (коэффициент \(1/8\) получается так: масса левой половины рычага \(M/2\), плечо — половина от длины левой половины рычага, т.е. \(l/4\)).

Найдём момент силы тяжести, действующий на правую часть рычага. Так как правую часть согнули пять раз, она состоит из шести частей с массой \(M/12\) каждая. Длина каждой части — \(l/12\). Плечи каждой части \(l_i\) легко найти из рисунка: \[l_1 = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}\,l = \frac{l}{24}, \quad l_2 = \frac{l}{12}, \quad l_3 = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{12}\,l = \frac{l}{8}, \quad l_4 = \frac{l}{6},\] \[l_5 = \frac{5}{2}\cdot\frac{1}{12}\,l = \frac{5l}{24}, \quad l_6 = \frac{l}{4}.\] Отсюда находим момент сил тяжести, действующих на правую часть рычага (с учётом груза \(m\) на конце, плечо которого \(l/4\)): \[N_{прав} = \frac{7}{96}\,Mgl + \frac{1}{4}\,mgl.\] Приравнивая моменты \(N_{лев}\) и \(N_{прав}\), получим \[m = \frac{5}{24}\,M.\]