Росатом, 2022/23, отборочный этап, 8 класс

Подсказка

Давление — отношение силы, с которой колонна давит на постамент, к площади основания. Сила равна силе тяжести колонны.

Ответ

\(P = \rho g h = 6{,}656\cdot 10^5\) Па.

Решение

Пусть площадь основания колонны равна \(S\). Тогда масса колонны определяется через связь массы, плотности и объёма \[m = \rho h S,\] где \(\rho\) — плотность гранита, \(h\) — высота колонны. Следовательно, на колонну действует сила тяжести \[mg = \rho g h S\] и сила со стороны постамента \(F\), которая уравновешивает силу тяжести. Колонна действует на постамент с такой же силой, а давление на постамент определяется соотношением \[P = \frac{F}{S} = \rho g h = 6{,}656\cdot 10^5~\text{Па}.\]

Подсказка

Найдите перемещения автомобилей за малый промежуток времени \(\Delta t\) и выразите через них перемещение тележки, учитывая, что длина троса между блоками и тележкой меняется.

Ответ

\(v_т = 4v\) (тележка движется налево).

Решение

Пусть в некоторый момент времени машины и тележка занимают некоторые положения, и пусть после этого момента проходит некоторый интервал времени \(\Delta t\). Найдём, насколько переместится за это время тележка. Поскольку правая машина переместится направо на расстояние \(2v\Delta t\), а левая машина переместится налево на расстояние \(v\Delta t\), то длина верёвки между блоками стала больше на величину \(3v\Delta t\). Значит, длина куска верёвки от левого блока до тележки стала короче на эту величину. И, кроме того, та точка, откуда начинается этот кусок, передвинулась влево на \(v\Delta t\). Поэтому тележка переместится налево на \(4v\Delta t\). Следовательно, скорость тележки направлена налево и равна \[v_т = 4v.\]

Подсказка

Максимальной массе льда отвечает ситуация, когда вся вода в калориметре остывает до \(0\,^\circ\)C. Запишите тепловой баланс.

Ответ

\(M = \dfrac{cm(t - t_0)}{\lambda} = 0{,}564\) кг.

Решение

Максимальному значению массы льда, который растает, будучи помещённым в воду, отвечает ситуация, когда после таяния в калориметре содержится вода (и полученная при таянии льда, и находившаяся в калориметре первоначально) с температурой, равной \(t_0 = 0\,^\circ\)C. Поэтому все тепло, выделившееся при остывании воды, первоначально находившейся в калориметре до \(t_0 = 0\,^\circ\)C, идёт на плавление льда. Следовательно, уравнение теплового баланса для рассматриваемого процесса остывания-таяния даёт \[cm(t - t_0) = \lambda M,\] где \(M\) — максимальная масса льда, который тает в калориметре. Отсюда находим \[M = \frac{cm(t - t_0)}{\lambda} = 0{,}564~\text{кг}.\]

Подсказка

Выпишите массы трёх частей стержня (согнутого участка, куска от него до опоры и куска от опоры до правого конца) и их плечи относительно опоры. Условие равновесия — равенство моментов.

Ответ

\(x = \dfrac{9l}{32}\).

Решение

В равновесии моменты, действующие на правое и на левое плечо стержня, одинаковы. Массы согнутого участка стержня, куска стержня от согнутой части до опоры и от опоры до правого конца равны соответственно \[\frac{m}{4}, \qquad \frac{mx}{l}, \qquad m - \frac{m}{4} - \frac{mx}{l},\] где \(m\) — масса стержня. Поэтому момент силы тяжести, действующей на согнутый участок стержня, равен \(x\,(mg/4)\), на участок длиной \(x\) от согнутой части до опоры — \((x/2)(mgx/l)\), на участок стержня от опоры до правого конца — \((l-(l/4)-x)\,mg\,(1-(1/4)-(x/l))/2\).

Условие равновесия стержня даёт \[\frac{mx}{4} + \frac{mx^2}{2l} = \frac{m\left((3l/4) - x\right)^2}{2l}.\] Отсюда находим \[x = \frac{9l}{32}.\] (Решения через центр тяжести несогнутой части стержня или центр тяжести всего стержня приводят к тому же ответу.)

Подсказка

Сумма путей, пройденных машинами между двумя соседними встречами, равна удвоенному расстоянию между городами. Что можно сказать о пути, который проходит каждая машина между встречами?

Ответ

2023 встреча произойдёт на расстоянии \(4S/5\) от города А; машина, разворачивающаяся в городе А, пройдёт до 2023 встречи расстояние \(\dfrac{12138}{5}S = 2427{,}6\,S\).

Решение

Очевидно, сумма расстояний, пройденных машинами от одной встречи до другой, равна удвоенному расстоянию между городами. Поэтому от одной встречи до следующей каждая машина проходит одинаковое расстояние. А поскольку машины начали движение из точки, лежащей на расстоянии \(2S/5\) от города А, а встретились на расстоянии \(S/5\) от В, то та машина, которая разворачивается в городе А, прошла от старта до первой встречи со второй машиной расстояние \(6S/5\). Между первой и второй встречей эта машина пройдёт такое же расстояние, поэтому вторая встреча машин произойдёт в точке старта. Третья встреча — в той же точке, что и первая. Таким образом, все нечётные встречи машин будут происходить в точке, лежащей на расстоянии \(S/5\) от города В (или \(4S/5\) от города А), а все чётные — в точке старта.

Поэтому 2022 встреча машин состоится в точке старта, 2023 — в той же точке, что и первая встреча, т.е. на расстоянии \(S/5\) от города В и на расстоянии \(4S/5\) от города А.

Поскольку от старта до первой встречи та машина, которая разворачивается в городе А, прошла расстояние \(2S/5 + 4S/5 = 6S/5\), то такое же расстояние она пройдёт от каждой встречи до следующей. Поэтому от старта до 2023 встречи эта машина пройдёт расстояние \[L = 2023\cdot\frac{6S}{5} = \frac{12138}{5}\,S = 2427{,}6\,S.\]