Росатом, 2022/23, заключительный этап, 8 класс

Составьте баланс объёмов: объём сосуда равен сумме объёма воды, объёма гирьки и объёма вылившейся воды. Гирька вдвое тяжелее — её объём вдвое больше.

\(V_0 = \dfrac{6}{5}\,V = 240\) мл.

Пусть объём сосуда равен \(V_0\), объём первой гирьки — \(v\). В первом случае из сосуда вылился объём воды \(V/5\), поэтому баланс объёмов: \[V + v - V_0 = \frac{V}{5} \quad\Rightarrow\quad \frac{4}{5}\,V + v = V_0 .\] Во втором случае воды было вдвое меньше, а гирька вдвое больше по объёму, и вылился объём воды \(V/10\): \[\frac{V}{2} + 2v - V_0 = \frac{V}{10} \quad\Rightarrow\quad \frac{4}{10}\,V + 2v = V_0 .\] Из системы этих уравнений находим \[V_0 = \frac{6}{5}\,V = 240~\text{мл}.\]

Посчитайте полный цикл одного поезда до и после открытия станции: что добавляется к ходу туда-обратно и что к стоянкам? Интервал должен остаться прежним.

3 поезда.

Полный цикл одного поезда на старой линии: \(2(K-1)\) перегонов по \(t\) туда и обратно и стоянки. На промежуточных станциях (\(K-2\) штуки) поезд стоит дважды, на двух конечных — по разу, всего \(2(K-2)t + 2t = 2(K-1)t\). Итого цикл \[T = 4(K-1)\,t ,\] а интервал между поездами \(\tau = \dfrac{T}{N} = \dfrac{4(K-1)\,t}{N}\).

После открытия новой конечной станции цикл увеличивается на: путь до новой станции \(2t\) в одну сторону, то есть \(4t\) туда и обратно; стоянка на новой конечной станции \(t\); старая конечная станция становится промежуточной и поезд стоит на ней дважды, то есть добавка ещё \(t\). Всего \(\Delta T = 4t + t + t = 6t\), и новый цикл \[T_1 = 4(K-1)\,t + 6t .\] Так как интервал сохранился, \(\dfrac{T_1}{N_1} = \dfrac{T}{N}\), откуда \[N_1 = \frac{(2K+1)\,N}{2(K-1)} = \frac{21\cdot 18}{18} = 21 .\] Поездов нужно добавить \[\Delta N = N_1 - N = \frac{3N}{2(K-1)} = 3 .\]

Так как сопротивление амперметра равно нулю, точки его подключения можно считать соединёнными. Перерисуйте цепь с учётом этого и выразите токи через \(I_A\).

\(V = \dfrac{1}{3}\,U - \dfrac{7}{3}\,I_A R = 33\) В.

Поскольку амперметр не имеет сопротивления, цепь можно перерисовать так, как показано на рисунке. Пусть ток через два левых верхних резистора равен \(I_1\). Тогда ток через правый верхний резистор равен \(I_1 + I_A\), и по закону Ома для верхней ветви \[U = I_1\cdot 2R + (I_1 + I_A)R \quad\Rightarrow\quad I_1 = \frac{U - I_A R}{3R}.\] Для нижней ветви \[U = I_2 R + V + (I_1 + I_A)R ,\] где \(I_2\) — ток через левый нижний резистор, \(V\) — показание вольтметра. Здесь учтено, что токи через правый верхний и правый нижний резисторы одинаковы. Ток в цепи равен \(I_1 + I_2\), он же равен \(2(I_1 + I_A)\), поэтому \(I_2 = I_1 + 2I_A\). Подставляя это в уравнение для нижней ветви, находим \[V = \frac{1}{3}\,U - \frac{7}{3}\,I_A R = 40~\text{В} - 7~\text{В} = 33~\text{В}.\]

Рассмотрите равновесие каждого рычага по отдельности. Какой стержень натянут, а какой сжат? Сначала найдите силу в верхнем стержне, затем в среднем.

\(x = \dfrac{l}{2}\);  масса тела на правом конце нижнего рычага \(5m\).

Центр тяжести верхнего рычага находится левее его опоры, поэтому верхне-правый стержень натянут и действует на верхний рычаг с силой \(T_1\), направленной вертикально вниз. Условие равновесия верхнего рычага: \[mg\left(\frac{l}{2} - \frac{3l}{8}\right) = T_1\cdot\frac{3l}{8} \quad\Rightarrow\quad T_1 = \frac{mg}{3}.\] Так как верхне-правый стержень натянут, он действует на средний рычаг с силой, направленной вертикально вверх. Условие равновесия среднего рычага, где \(T_2\) — сила натяжения левого нижнего стержня: \[T_2\cdot\frac{l}{4} = mg\left(\frac{l}{2} - \frac{l}{4}\right) - T_1\cdot\frac{3l}{4}.\] Отсюда \(T_2 = 0\), и в равновесии нижний рычаг опирается на опору своей серединой: \(x = \dfrac{l}{2}\).

Если на левый конец верхнего рычага положить тело массой \(m\), сила натяжения верхне-правого стержня увеличится на \[\Delta T_1 = \frac{5}{3}\,mg .\] Поэтому нижний стержень будет сжат и действует на средний рычаг вертикально вверх с силой \(\Delta T_2\): \[\Delta T_2\cdot\frac{l}{4} = \frac{5}{3}\,mg\cdot\frac{3l}{4} \quad\Rightarrow\quad \Delta T_2 = 5mg .\] Следовательно, на нижний рычаг со стороны левого нижнего стержня действует сила \(5mg\), направленная вертикально вниз. Так как опора нижнего рычага находится посередине, на его правый конец нужно положить тело массой \(5m\).

В установившемся режиме выделяемая мощность равна мощности теплопотерь. Как при укорачивании проводника меняются его сопротивление и площадь боковой поверхности?

\(\Delta t_1 - \Delta t = \left(\dfrac{16}{9} - 1\right)\cdot 10\,^\circ\text{C} \approx 7{,}8\,^\circ\text{C}\).

Температура перестала расти, значит, установилось тепловое равновесие: мощность теплопотерь равна выделяемой в проводнике мощности. По закону Джоуля–Ленца и указанию \[\frac{U^2}{R} = kS\,\Delta t ,\] где \(k\) — коэффициент пропорциональности в законе Ньютона–Рихмана, \(S\) — площадь боковой поверхности проводника, \(\Delta t\) — разность температур проводника и окружающей среды.

Когда от проводника отрезали четверть, его сопротивление стало \(\dfrac{3}{4}R\), а площадь боковой поверхности уменьшилась до \(\dfrac{3}{4}S\). Условие теплового равновесия для укороченного проводника, подключённого к тому же источнику: \[\frac{U^2}{\frac{3}{4}R} = k\cdot\frac{3}{4}S\,\Delta t_1 .\] Коэффициент \(k\) тот же, так как геометрия и теплоизоляция проводника не изменились. Деля второе уравнение на первое, \[\frac{4}{3} = \frac{3}{4}\cdot\frac{\Delta t_1}{\Delta t} \quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta t_1}{\Delta t} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} .\] Температура увеличится по сравнению с первым случаем на \[\Delta t_1 - \Delta t = \frac{7}{9}\,\Delta t = \frac{7}{9}\cdot 10\,^\circ\text{C} \approx 7{,}8\,^\circ\text{C}.\]