Росатом, 2023/24, отборочный этап, 11 класс

Подсказка

В вершинах радиус поворота стремится к нулю, поэтому скорость в вершинах должна быть нулевой. Найдите время разгона и торможения на одной стороне.

Ответ

\(t = 16\sqrt{\dfrac{d}{a}}\).

Решение

Чтобы время прохода было минимальным, у тела должна быть максимальная скорость, но при повороте в вершине (поскольку радиус поворота \(\to 0\)) \(a \to \infty\), если только скорость тела не равна нулю. Поэтому в вершинах тело должно иметь нулевую скорость. Значит, тело будет двигаться так: стартуя из вершины с нулевой начальной скоростью, тело разгоняется с максимальным ускорением до середины стороны, а затем тормозит с максимальным ускорением, чтобы попасть в вершину с нулевой скоростью. Поэтому время достижения середины стороны находится из уравнения \[\frac{d}{2} = \frac{a t_0^2}{2} \quad\Rightarrow\quad t_0 = \sqrt{\frac{d}{a}} .\] Время прохождения стороны квадрата вдвое больше, периметра — в восемь раз больше, а двух периметров — в шестнадцать раз больше времени \(t_0\): \[t = 16\,t_0 = 16\sqrt{\frac{d}{a}} .\]

Подсказка

После заземления потенциал малой сферы равен нулю. Потенциал внутренней сферы складывается из вкладов обеих сфер.

Ответ

\(\Delta q = -\dfrac{Q}{3}\) (т.е. заряд \(Q/3\) перетекает с земли на малую сферу).

Решение

После заземления потенциал малой сферы станет равным нулю. Поэтому для нового заряда малой сферы \(q\) справедливо условие \[\frac{kq}{R} - \frac{4kQ}{3R} = 0 ,\] где \(k\) — постоянная закона Кулона. Отсюда \[q = \frac{4Q}{3} ,\] и, следовательно, от малой сферы к земле протечёт заряд \[\Delta q = Q - q = -\frac{Q}{3} .\]

Подсказка

Каждый поршень создаёт над газом избыточное давление \(p_0\). Считайте процессы изотермическими.

Ответ

\(h_{2\text{--}3} = \dfrac{5h}{108}\).

Решение

Когда в сосуд опускают первый поршень, он закрывает в сосуде такое количество воздуха при атмосферном давлении, которое занимало весь сосуд. После остановки первого поршня давление этого воздуха вырастает вдвое (\(2p_0\)), что означает, что первый поршень останавливается первый раз посередине сосуда (на расстоянии \(h/2\) от его верха). Поэтому второй поршень закрывает в сосуде такое количество воздуха при атмосферном давлении, которое занимает половину сосуда. А так как давление воздуха между первым и вторым поршнем после остановки второго поршня должно стать равным \(2p_0\), расстояние между первым и вторым поршнем в этот момент будет равно \(h/4\). Давление воздуха под первым поршнем в этот момент будет равно \(3p_0\). Это значит, что расстояние между дном сосуда и первым поршнем в этот момент будет равно \(h/3\). Отсюда следует, что третий поршень закрывает в сосуде столб воздуха высотой \[h - \frac{h}{3} - \frac{h}{4} = \frac{5h}{12} .\] После того как в сосуд опустят 10 поршней, давление воздуха под третьим поршнем будет равно \(9p_0\) (над ним атмосфера и восемь поршней, каждый создаёт избыточное давление \(p_0\)), т.е. увеличится в 9 раз по сравнению с атмосферным. Поэтому объём этого воздуха уменьшится в 9 раз. Следовательно, расстояние между вторым и третьим поршнем будет равно \[h_{2\text{--}3} = \frac{5h}{12\cdot 9} = \frac{5h}{108} .\]

Подсказка

Установившееся движение тела вдоль плоскости происходит с постоянной скоростью. Сила трения направлена против скорости тела относительно плоскости, поэтому она отклонена от направления наибыстрейшего спуска.

Ответ

\(v_0 = \dfrac{v\,\mathrm{tg}\,\alpha}{\sqrt{\mu^2 - \mathrm{tg}^2\alpha}}\) (вдоль наибыстрейшего спуска).

Решение

Пусть установившаяся скорость тела \(\vec v_0\) направлена вниз вдоль плоскости. Но относительно плоскости тело будет двигаться под некоторым углом \(\beta\) к направлению наибыстрейшего спуска (в течение половины периода в одну сторону, в течение другой половины — в другую).

Сила трения, действующая на тело со стороны плоскости, противоположна скорости тела относительно плоскости. Поэтому сила трения также направлена под углом \(\beta\) к направлению наибыстрейшего спуска (но вверх). В установившемся режиме проекция силы трения на направление наибыстрейшего спуска компенсирует составляющую силы тяжести вдоль плоскости, равную \(mg\sin\alpha\): \[\mu mg\cos\alpha\cos\beta = mg\sin\alpha .\] Отсюда \[\cos\beta = \frac{\mathrm{tg}\,\alpha}{\mu} .\] А поскольку \[\mathrm{tg}\,\beta = \frac{v}{v_0} ,\] из формулы для \(\cos\beta\) находим \[v_0 = \frac{v\,\mathrm{tg}\,\alpha}{\sqrt{\mu^2 - \mathrm{tg}^2\alpha}} .\]

Подсказка

Центр тяжести сместится максимально, когда он совпадает со стыком частей заготовки. Найдите положение стыка из условия равенства моментов масс частей относительно него.

Ответ

\(\Delta x = \dfrac{h}{14}\).

Решение

В процессе обработки заготовка представляет собой два состыкованных соосных цилиндра с радиусами \(R\) и \(3R/4\) (см. рисунок). И центр тяжести заготовки в процессе её обработки смещается, поскольку до обработки центр тяжести заготовки находится посередине, а, например, в положении, показанном на рисунке, центр тяжести заготовки находится левее её середины. Докажем, что максимальным смещение центра тяжести будет в таком положении, в котором центр тяжести совпадает с положением резца (стыка между двумя частями заготовки).

Действительно, пусть центр тяжести находится левее положения резца (стыка частей). Если в этом положении резец срежет какой-то небольшой объём заготовки, то её центр тяжести сместится влево, поскольку мы уменьшаем часть заготовки справа от центра тяжести. Если центр тяжести находится слева от резца, то при дальнейшей обработке заготовки центр тяжести будет перемещаться вправо. Т.е. пока резец при обработке заготовки с правого конца не «дошёл» до её центра тяжести, центр тяжести движется влево, когда «перешёл» — вправо. Это значит, что максимальным смещение центра тяжести будет тогда, когда он совпадает с резцом.

Найдём из этого условия максимальное смещение центра тяжести. Пусть центр тяжести совпадает со стыком частей заготовки (тогда он максимально смещён от её центра) и находится на расстоянии \(x\) от её левого конца. Тогда \[m_л\,\frac{x}{2} = m_п\,\frac{h - x}{2} ,\] где \(m_л\) и \(m_п\) — массы левой и правой частей соответственно. Используя то, что массы частей пропорциональны их объёмам, получаем \[\rho\pi R^2 x\,\frac{x}{2} = \rho\pi\left(\frac{3R}{4}\right)^2 (h - x)\,\frac{h - x}{2} .\] Отсюда \[x = \frac{3h}{7} .\] Это значит, что максимальное смещение центра тяжести заготовки при обработке \[\Delta x = \frac{h}{2} - \frac{3h}{7} = \frac{h}{14} .\]