Росатом, 2023/24, отборочный этап, 8 класс

Подсказка

Как сопротивление куска провода связано с сопротивлением целого провода? Как меняется сопротивление при параллельном соединении одинаковых кусков?

Ответ

\(\dfrac{P_1}{P_2} = \dfrac{N_2^2}{N_1^2} = \dfrac{4}{9} \approx 0{,}44\).

Решение

Пусть сопротивление каждого неразрезанного провода равно \(R\). Тогда сопротивления кусков провода равны \[r_1 = \frac{R}{N_1}, \qquad r_2 = \frac{R}{N_2}.\] При параллельном соединении этих кусков получаются жгуты с сопротивлениями \[R_1 = \frac{R}{N_1^2}, \qquad R_2 = \frac{R}{N_2^2},\] где \(R_1\) — сопротивление жгута, полученного при параллельном соединении \(N_1\) кусков, на который разрезали первый провод, \(R_2\) — сопротивление жгута, полученного при параллельном соединении \(N_2\) кусков, на который разрезали второй провод. Когда эти жгуты соединили последовательно и подключили к ним некоторый источник электрического напряжения, через жгуты потечёт одинаковый ток, и, следовательно, отношение мощностей тока в жгутах будет равно отношению их сопротивлений: \[\frac{P_1}{P_2} = \frac{I^2 R_1}{I^2 R_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{N_2^2}{N_1^2} = \frac{4}{9} \approx 0{,}44,\] где \(I\) — ток в жгутах.

Подсказка

Запишите полное время движения через длину трети пути и скорости и условие «треть всего времени» на вторую треть.

Ответ

\(V_3 = \dfrac{V_1 V_2}{2V_1 - V_2}\) при условии \(2V_1 > V_2\).

Решение

Пусть скорость автомобиля на третьей трети пути равна \(V_3\), длина каждой трети — \(S\). Тогда время, которое автомобиль затратил на весь путь, равно \[t = \frac{S}{V_1} + \frac{S}{V_2} + \frac{S}{V_3}.\] На движение по второй трети пути автомобиль затратил время \(t_2 = \dfrac{S}{V_2}\). Поэтому из условия задачи получаем уравнение на скорости автомобиля на разных третях пути: \[\frac{S}{V_2} = \frac{1}{3}\left(\frac{S}{V_1} + \frac{S}{V_2} + \frac{S}{V_3}\right).\] Решая это уравнение, получим \[V_3 = \frac{V_1 V_2}{2V_1 - V_2}.\] При этом для скоростей \(V_1\) и \(V_2\) должно быть выполнено условие \(2V_1 > V_2\) (при его невыполнении автомобиль не сможет затратить на прохождение второй трети пути треть всего времени даже при бесконечной скорости \(V_3\)).

Подсказка

Рассмотрите три случая: начальная температура льда ниже \(-20\,^{\circ}\)C, равна ей и выше (но не выше \(0\,^{\circ}\)C). В каждом случае лёд либо остаётся льдом, либо частично или полностью тает.

Ответ

\(c_{\text{л}}\, m\,\Delta t \le Q \le c_{\text{в}}\, m\,\Delta t + \lambda m\), т.е. \(4{,}2 \cdot 10^4\) Дж \(\le Q \le 41{,}4 \cdot 10^4\) Дж.

Решение

В зависимости от начальной температуры льда возможны разные результаты его нагревания на \(\Delta t = 20\,^{\circ}\)C.

Если начальная температура льда меньше \(-20\,^{\circ}\)C, то в результате его нагревания на \(\Delta t = 20\,^{\circ}\)C лёд останется льдом. Поэтому для его нагревания на \(\Delta t = 20\,^{\circ}\)C необходимо количество теплоты \[Q_1 = c_{\text{л}}\, m\,\Delta t = 4{,}2 \cdot 10^4~\text{Дж}.\]

Если начальная температура льда равна \(-20\,^{\circ}\)C, то в результате его нагревания на \(\Delta t = 20\,^{\circ}\)C его температура станет равной температуре плавления льда \(t_0 = 0\,^{\circ}\)C, а вот доля расплавившейся части льда никак не определена условием задачи. Поэтому минимальному количеству теплоты, реализующему это нагревание, отвечает ситуация, когда лёд вообще не плавится, а максимальному — когда весь лёд расплавится и остаётся водой с температурой \(0\,^{\circ}\)C. Отсюда находим пределы для количества теплоты, необходимой для реализации этого случая: \[c_{\text{л}}\, m\,\Delta t < Q_2 \le c_{\text{л}}\, m\,\Delta t + \lambda m,\] или \(4{,}2 \cdot 10^4\) Дж \(< Q_2 \le 37{,}2 \cdot 10^4\) Дж.

Если начальная температура льда лежит в интервале от \(-20\,^{\circ}\)C до \(0\,^{\circ}\)C, лёд при нагревании на \(\Delta t = 20\,^{\circ}\)C полностью растает, и тогда для его нагревания на \(\Delta t = 20\,^{\circ}\)C его нужно довести до \(0\,^{\circ}\)C, превратить в воду и довести до температуры, которая на \(20\) градусов больше начальной. Для этого льду нужно сообщить количество теплоты \[Q_3 = c_{\text{л}}\, m\,(t_0 - t_{\text{н}}) + \lambda m + c_{\text{в}}\, m\,(t_{\text{н}} + \Delta t - t_0) = c_{\text{в}}\, m\,\Delta t + (c_{\text{в}} - c_{\text{л}})\, m\, t_{\text{н}} + \lambda m,\] где \(t_{\text{н}}\) — начальная температура льда.

Поскольку \(c_{\text{в}} > c_{\text{л}}\) и \(t_{\text{н}} < 0\), максимум этого выражения достигается при \(t_{\text{н}} = 0\,^{\circ}\)C, минимум — при \(t_{\text{н}} = -20\,^{\circ}\)C, то для величины \(Q_3\) получаются пределы \[37{,}2 \cdot 10^4~\text{Дж} < Q_3 \le 41{,}4 \cdot 10^4~\text{Дж}.\]

Собирая вместе все три случая, находим, в каких пределах может меняться количество теплоты, необходимое для нагревания льда на \(\Delta t = 20\,^{\circ}\)C, в зависимости от начальной температуры льда: \[c_{\text{л}}\, m\,\Delta t \le Q \le c_{\text{в}}\, m\,\Delta t + \lambda m,\] или \(4{,}2 \cdot 10^4\) Дж \(\le Q \le 41{,}4 \cdot 10^4\) Дж.

Подсказка

Выразите массу и объём варёной перловки через объём впитавшейся воды \(v\). Какой объём воды при этом выкипел?

Ответ

\(V_1 = V - \dfrac{m\,(\rho_{\text{с}} - \rho_{\text{в}})}{\rho_{\text{с}}\,(\rho_{\text{в}} - \rho_0)} \approx 2{,}29\) л.

Решение

Пусть в перловку впитался объём воды \(v\). Тогда масса варёной перловки равна \(m + \rho_0 v\), а её объём — \(\dfrac{m}{\rho_{\text{с}}} + v\). Следовательно, плотность варёной перловки есть \[\rho_{\text{в}} = \frac{m + \rho_0 v}{\dfrac{m}{\rho_{\text{с}}} + v}.\] Из этого уравнения находим \[v = \frac{m\,(\rho_{\text{с}} - \rho_{\text{в}})}{\rho_{\text{с}}\,(\rho_{\text{в}} - \rho_0)}.\] И, значит, выкипел объём воды \(V_1\): \[V_1 = V - v = V - \frac{m\,(\rho_{\text{с}} - \rho_{\text{в}})}{\rho_{\text{с}}\,(\rho_{\text{в}} - \rho_0)} = 2{,}29~\text{л}.\]

Подсказка

Запишите время, за которое заяц догонит медведя, через скорости и расстояние \(S\). Какое расстояние за это время пройдут медведь и волк? Затем сделайте то же для момента, когда заяц догонит волка.

Ответ

\(\Delta = S\).

Решение

Ясно, что для скоростей Медведя, Волка и Зайца выполнены условия \(v_{\text{З}} > v_{\text{В}} > v_{\text{М}}\). Получим соотношение для этих скоростей из первого условия задачи (момента, когда Заяц догнал Медведя). Очевидно, что Заяц догонит Медведя через время \[t = \frac{S}{v_{\text{З}} - v_{\text{М}}}.\] За это время Медведь и Волк пройдут расстояния \(\dfrac{S v_{\text{М}}}{v_{\text{З}} - v_{\text{М}}}\) и \(\dfrac{S v_{\text{В}}}{v_{\text{З}} - v_{\text{М}}}\) соответственно. Поэтому Медведь (и Заяц, который находится в той же точке) будет позади Волка на расстоянии \[\frac{S\,(v_{\text{В}} - v_{\text{М}})}{v_{\text{З}} - v_{\text{М}}},\] которое по условию равно \(S/2\). Поэтому \[\frac{v_{\text{В}} - v_{\text{М}}}{v_{\text{З}} - v_{\text{М}}} = \frac{1}{2}.\] Заяц догонит Волка через время \[t_2 = \frac{S/2}{v_{\text{З}} - v_{\text{В}}},\] пройдя расстояние \(\dfrac{S v_{\text{З}}}{2(v_{\text{З}} - v_{\text{В}})}\). Медведь за это время пройдёт расстояние \(\dfrac{S v_{\text{М}}}{2(v_{\text{З}} - v_{\text{В}})}\). Поэтому Медведь окажется позади Зайца (и Волка, который находится в той же точке) на расстоянии \[\Delta = \frac{S\,(v_{\text{З}} - v_{\text{М}})}{2\,(v_{\text{З}} - v_{\text{В}})}.\] Выразим эту величину через полученное соотношение. Перевернём дробь, добавим и вычтем в числителе скорость Медведя и разобьём получившуюся дробь на две: \[\frac{1}{\Delta} = \frac{2(v_{\text{З}} - v_{\text{В}})}{S\,(v_{\text{З}} - v_{\text{М}})} = \frac{2\big((v_{\text{З}} - v_{\text{М}}) - (v_{\text{В}} - v_{\text{М}})\big)}{S\,(v_{\text{З}} - v_{\text{М}})} = \frac{2}{S} - \frac{2\,(v_{\text{В}} - v_{\text{М}})}{S\,(v_{\text{З}} - v_{\text{М}})}.\] Поскольку отношение разности скоростей во втором слагаемом равно \(1/2\), находим \(\dfrac{1}{\Delta} = \dfrac{1}{S}\), т.е. \(\Delta = S\).