Росатом, 2023/24, отборочный этап, 8 класс

Сравните среднюю плотность бутылки с плотностью жидкости, в которую её опускают.

Бутылка с водой утонет, бутылка с ртутью будет плавать.

Плавание тела зависит от его средней плотности: если средняя плотность тела больше плотности жидкости, тело тонет, если меньше, плавает.

Поскольку плотность стекла больше плотности воды, то средняя плотность стеклянной бутылки, полностью заполненной водой, больше плотности воды, и такая бутылка утонет в воде. Но плотность стекла меньше плотности ртути; поэтому средняя плотность стеклянной бутылки, полностью заполненной ртутью, меньше плотности ртути, и такая бутылка будет плавать в ртути.

Сумма путей, пройденных машинами до первой встречи, равна АВ. Сравните времена между встречами и путь, пройденный каждой машиной.

\(AB = \dfrac{9}{4}\,l\).

Очевидно, что сумма расстояний, пройденных машинами до первой встречи, равна расстоянию между городами А и В. За время, прошедшее между первой и второй встречей, машины успеют доехать до своих пунктов назначения (сумма расстояний равна \(2AB\)), развернуться, поехать навстречу друг другу и проехать до встречи такие расстояния, сумма которых также равна \(2AB\). Поэтому время от первой встречи до второй вдвое больше времени от выхода до первой встречи, и каждая машина пройдёт от первой встречи до второй вдвое большее расстояние, чем до первой. Машина, вышедшая из А, до первой встречи прошла расстояние \(l\), значит от первой встречи до второй она пройдёт \(2l\). При этом она успеет доехать до В (т.е. пройти расстояние \(AB - l\)) и пройти расстояние \(\dfrac{3l}{4}\) до второй встречи. Поэтому \[2l = (AB - l) + \frac{3}{4}\,l.\] Отсюда находим \(AB = \dfrac{9}{4}\,l\).

Найдите силу натяжения нити под грузом, затем условие равновесия блока: какими силами растягиваются пружины?

\(\Delta x = \dfrac{3mg}{10k}\).

Из условия равновесия груза заключаем, что сила натяжения нити, привязанной к грузу, равна \(T = mg\). Условие равновесия блока, на который действует сила натяжения \(T\) нижней нити и две силы натяжения \(T_1\) нитей, связанных с пружинами, даёт \[2T_1 = T \quad\Rightarrow\quad T_1 = \frac{T}{2} = \frac{mg}{2}.\] Таким образом, обе пружины растягиваются одинаковой силой \(mg/2\). Поэтому пружины растянутся на \[\Delta x_1 = \frac{T_1}{k} = \frac{mg}{2k} \quad \text{(пружина с жёсткостью $k$)}, \qquad \Delta x_2 = \frac{T_1}{5k} = \frac{mg}{10k} \quad \text{(пружина с жёсткостью $5k$)}.\] Следовательно, длина всей конструкции, держащей блок (верхняя нить и две пружины), увеличится на \[\Delta x_1 + \Delta x_2 = \frac{mg}{2k} + \frac{mg}{10k} = \frac{3mg}{5k}.\] Половина этого удлинения приходится слева, половина справа от блока, поэтому блок (и груз) опустится на половину этой величины: \[\Delta x = \frac{3mg}{10k}.\]

В момент опрокидывания опора стержня находится на краю стола. Запишите равенство моментов сил относительно края стола.

\(F = \dfrac{3}{2}\,mg\).

На стержень действуют сила тяжести \(mg\), сила реакции поверхности (на те части стержня, которые лежат на столе) и внешняя сила \(F\), причём в момент переворота стержня относительно края, точка приложения силы реакции находится на краю стола. Поэтому в момент переворота условие моментов относительно края стола даёт \[M_{mg} = M_F,\] где \(M_{mg}\) и \(M_F\) — моменты сил тяжести и внешней силы \(F\) относительно края стола. Сила тяжести приложена к центру тяжести стержня, который находится в его середине, поэтому \[mg\left(\frac{l}{2} - \frac{l}{5}\right) = F\,\frac{l}{5}.\] Отсюда находим \(F = \dfrac{3}{2}\,mg\).

Если бы второй жук всё время двигался со скоростью \(2v\), встреча произошла бы через \(S/(3v)\). Подумайте, сколько времени в среднем он движется, и как устроена повторяющаяся стадия движения.

\(t = \dfrac{2S}{5v}\); первый жук пройдёт \(\dfrac{2S}{5}\), второй — \(\dfrac{3S}{5}\).

Если бы второй жук двигался без остановки со скоростью \(2v\), то скорость сближения жуков составляла бы \(3v\), и они встретились бы через время \(t_\text{встр} = \dfrac{S}{3v}\).

В нашей задаче картина движения иная. Если расстояние между жуками в начале какой-то стадии движения было равно \(x\), то время \(t\) движения второго жука до остановки составит \[t = \frac{x}{2\cdot 3v} = \frac{x}{6v},\] а расстояние между жуками в этот момент составит \(x/2\). Отдыхать второй жук будет в течение одной трети найденного времени, т.е. \(t_1 = \dfrac{t}{3} = \dfrac{x}{18v}\). За это время первый жук пройдёт расстояние \(x/18\), что меньше \(x/2\), поэтому встреча не происходит на этой стадии, а картина движения повторяется: до встречи пройдёт бесконечное количество таких стадий. Средняя скорость сближения жуков на каждой стадии одинакова, поэтому время встречи определяется средней скоростью сближения, вычисленной для любой полной стадии.

Пусть расстояние между жуками в начале какой-то стадии равно \(x\), время этой стадии (когда картина движения начинает повторяться) — \(\tau\), а за это время жуки в сумме пройдут расстояние \(y\). Тогда средняя скорость сближения \(v_\text{ср} = y/\tau\). Полное время стадии \[\tau = t + t_1 = \frac{2x}{9v}.\] Второй жук за это время пройдёт расстояние \(x_2 = 2v t = x/3\), а первый (который всё время двигался) — расстояние \(x_1 = v\tau = 2x/9\). Поэтому в сумме жуки пройдут \[y = x_1 + x_2 = \frac{x}{3} + \frac{2x}{9} = \frac{5x}{9}.\] Средняя скорость сближения на этой стадии \[v_\text{ср} = \frac{5x/9}{2x/(9v)} = \frac{5}{2}\,v.\] Отсюда время до встречи и пути, пройденные жуками: \[t_\text{встр} = \frac{2S}{5v}, \qquad S_1 = v\,t_\text{встр} = \frac{2S}{5}, \qquad S_2 = S - S_1 = \frac{3S}{5}.\]