Росатом, 2023/24, отборочный этап, 9 класс

Запишите уравнение теплового баланса для момента, когда холодное тело нагрелось до \(70\,^\circ\)C. Подумайте, как меняется скорость теплообмена с разностью температур.

\(t_2' = 125\,^\circ\text{C}\); за такое же время холодное тело не нагреется до \(80\,^\circ\text{C}\) (нагреется меньше чем на \(10\,^\circ\text{C}\)).

Поскольку холодное тело нагрелось за 2 минуты от температуры \(t_1\) до температуры \(t_x\), то оно получило за это время количество теплоты \[Q_1 = c_1 m_1 (t_x - t_1),\] где \(c_1\) — удельная теплоёмкость вещества более холодного тела. А так как теплообмена с окружающими телами не было, то такое же количество теплоты потеряло более горячее тело, охладившись от температуры \(t_2\) до искомой температуры \(t_2'\). Поэтому \[c_1 m_1 (t_x - t_1) = c_2 m_2 (t_2 - t_2'),\] где \(c_2\) — теплоёмкость вещества горячего тела. Отсюда получаем \[t_2' = t_2 - \frac{c_1 m_1}{c_2 m_2}(t_x - t_1) = t_2 - \frac{3}{2}(t_x - t_1) = 125\,^\circ\text{C}.\] Ещё за две минуты более холодное тело не успеет нагреться ещё на \(10\,^\circ\text{C}\). Это связано с тем, что скорость теплообмена между двумя телами зависит от разности температур между ними — чем больше разность температур, тем больше скорость теплообмена. Но за первые две минуты (при разности начальных температур между телами \(t_2 - t_1 = 80\,^\circ\text{C}\)) горячее тело отдало столько теплоты, что холодное тело нагрелось на \(\Delta t = 10\,^\circ\text{C}\). Поэтому при разности температур \(t_x - t_2' = 55\,^\circ\text{C}\) горячее тело отдаст меньшее количество теплоты, потому за те же самые 2 минуты более холодное тело нагреется меньше, чем на \(\Delta t = 10\,^\circ\text{C}\).

Сумма путей, пройденных машинами между соседними встречами, равна удвоенному расстоянию АВ. Что можно сказать о времени до первой встречи по сравнению с временем до третьей?

Первая встреча — через \(40\) мин; вторая машина до третьей встречи прошла \(215\) км; скорости машин — примерно \(86{,}3\) км/ч и \(65{,}1\) км/ч.

Очевидно, что сумма расстояний, пройденных машинами от момента их выхода из «своих» городов до первой встречи, равна расстоянию между городами. До второй встречи каждая машина успеет доехать до своего пункта назначения, развернуться и доехать до второй встречи с другой машиной. Поэтому сумма расстояний, пройденных машинами от первой встречи до второй, равна удвоенному расстоянию между городами, т.е. она вдвое больше суммы расстояний, пройденных машинами от выхода из своих городов до первой встречи. От второй встречи до третьей машины в сумме проходят также удвоенное расстояние между городами. И т.д. А поскольку машины движутся с постоянными скоростями, то для времён справедливы те же соотношения: время от первой встречи до второй вдвое больше времени от выхода до первой встречи. Время от второй встречи до третьей равно времени от первой встречи до второй. И т.д. Это справедливо, пока во время встречи они движутся навстречу друг другу. Поскольку скорости машин разные, наступит такой момент, когда во время какой-то по номеру встречи более быстрая машина будет догонять вторую, двигаясь с ней в одном направлении. В этом случае время, прошедшее от предыдущей встречи до данной, будет меньше предыдущих времён встречи.

Из приведённых рассуждений следует, что время \(t_{0\text{–}3} = t\), прошедшее от выхода машин из «своих» городов до третьей встречи, впятеро больше времени \(t_{0\text{–}1}\), прошедшего от выхода машин до первой встречи. Поэтому время до первой встречи равно \[t_{0\text{–}1} = \frac{t}{5} = 40~\text{минут}.\] Поскольку до третьей встречи машины в сумме прошли расстояние \(5S\), то вторая машина прошла до третьей встречи расстояние \[S_2 = 5S - S_1 = 215~\text{км}.\] Поскольку первая машина до третьей встречи прошла расстояние \(S_1 = 285\) км, а вторая — \(S_2 = 215\) км за время \(t = 3\) часа 20 минут, скорости машин равны \[v_1 = \frac{S_1}{t} = 86{,}3~\text{км/ч}, \qquad v_2 = \frac{S_2}{t} = 65{,}1~\text{км/ч}.\]

Перерисуйте схему, перемещая соединительные провода (это не меняет сопротивления цепи), и посмотрите, как резисторы соединены между собой.

\(R_\text{об} = \dfrac{R}{2} = 5\) Ом.

С помощью деформации соединительных проводов (что не меняет сопротивления исходной цепи) данную в условии электрическую цепь можно привести к такому виду, из которого очевидно, что резисторы соединены параллельно. Поэтому общее сопротивление этой цепи можно найти как \[\frac{1}{R_\text{об}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{3R} + \frac{1}{3R} + \frac{1}{3R} \quad\Rightarrow\quad R_\text{об} = \frac{R}{2} = 5~\text{Ом}.\]

Сначала покажите, что уровни воды в сообщающихся сосудах с плавающими телами одинаковы. Затем используйте условие плавания тел и закон Архимеда.

\(h = \dfrac{(1+mn)\,\rho V}{(1+k)\,\rho_0 S_1}\) (уровень одинаков в обоих сосудах).

Докажем сначала, что уровни жидкости в сообщающихся сосудах, в которых плавают какие-то тела, будут одинаковыми. Для этого найдём давление около дна сосуда с жидкостью, в которой плавает какое-то тело. При этом жидкость действует на тело силой Архимеда, и (по третьему закону Ньютона) точно такой же силой тело действует на жидкость. Но сила Архимеда равна весу жидкости в объёме тела, находящемся в жидкости. Поэтому если мысленно вытащить тело из жидкости и заполнить тот объём тела, который находился в жидкости, такой же жидкостью, то распределение сил в жидкости не изменится. И, следовательно, давление около дна сосуда с жидкостью, в котором плавает какое-то тело, равно \(\rho g h\), где \(\rho\) — плотность жидкости, \(g\) — ускорение свободного падения, а \(h\) — высота уровня жидкости в сосуде вместе с плавающим телом. А поскольку условием равновесия жидкости в сообщающихся сосудах является равенство давлений жидкости около дна каждого из колен сообщающихся сосудов, то и уровень жидкости в сосудах (вместе с плавающими в них телами) будет одинаковым.

Теперь легко найти и величину подъёма жидкости в сосудах при опускании в них плавающих тел. Для этого нужно найти суммарный объём жидкости, вытесненный телами, и распределить его так по сосудам, чтобы уровень жидкости в них был одинаковым. Условие плавания первого тела даёт \[\rho g V = \rho_0 g V_{\text{выт},1} \quad\Rightarrow\quad V_{\text{выт},1} = \frac{\rho}{\rho_0} V,\] где \(V_{\text{выт},1}\) — объём жидкости, вытесненный первым телом. Аналогично для второго тела \[m\rho g nV = \rho_0 g V_{\text{выт},2} \quad\Rightarrow\quad V_{\text{выт},2} = \frac{mn\rho}{\rho_0} V.\] Поэтому тела вытеснят следующий объём жидкости \[V_\text{выт} = V_{\text{выт},1} + V_{\text{выт},2} = \frac{(1+mn)\,\rho V}{\rho_0}.\] Этот объём разместится в сосудах так, что уровни жидкости в них будут одинаковы. Поэтому для высоты \(h\) подъёма уровня жидкости в сосудах по сравнению с начальным положением имеем \[h S_1 + h k S_1 = V_\text{выт}, \quad\Rightarrow\quad h = \frac{(1+mn)\,\rho V}{(1+k)\,\rho_0 S_1}.\]

Так как нити нерастяжимы, все бруски начинают двигаться одновременно. Рассмотрите момент начала скольжения, когда силы трения принимают максимальные значения.

\(F = 19\,\mu mg\); силы натяжения: верхней нити \(T_\text{в} = 18\,\mu mg\), нижней нити \(T_\text{н} = 13\,\mu mg\).

Так как нити нерастяжимые, то при сдвиге верхнего бруска все бруски одновременно придут в движение. Исследуем момент начала движения всех брусков. На верхний брусок действуют внешняя сила \(F\), сила натяжения верхней нити \(T_\text{в}\) и сила трения между ним и средним бруском. На средний брусок действует сила натяжения верхней нити (такая же, как на верхний, поскольку нить не имеет массы), противоположно две силы трения — со стороны верхнего и нижнего брусков, а также сила натяжения нижней нити. На нижний брусок действует сила натяжения нижней нити и две силы трения — со стороны среднего бруска и опоры. В момент начала скольжения ускорения брусков равны нулю, а силы трения принимают максимальные значения. Сила реакции между верхним и средним бруском равна \(mg\), между средним и нижним — \(2mg\), между нижним бруском и поверхностью — \(3mg\). Второй закон Ньютона для брусков в момент начала скольжения в проекциях на горизонтальную ось даёт \[\begin{aligned} F &= T_\text{в} + \mu mg, \\ T_\text{в} &= T_\text{н} + \mu mg + 4\mu mg, \\ T_\text{н} &= 4\mu mg + 9\mu mg. \end{aligned}\] Складывая эти уравнения, найдём минимальную силу \(F\), которую нужно приложить к верхнему бруску, чтобы сдвинуть его с места: \[F = 19\,\mu mg,\] а затем из этой системы уравнений — силы натяжения нитей: \[T_\text{в} = 18\,\mu mg, \qquad T_\text{н} = 13\,\mu mg.\]