Росатом, 2023/24, заключительный этап, 7 класс

Плотность пены равна отношению массы всего содержимого пузырька к его объёму. Выразите объём каждой части через её массу и плотность.

1) \(\rho \approx 3{,}9\) кг/м\(^3\);  2) \(\varphi \approx 0{,}0023\).

Пусть масса воздуха в пене \(m\), тогда масса шампуня \(2m\). Объёмы воздуха и шампуня: \[V_в = \frac{m}{\rho_в}, \qquad V_ш = \frac{2m}{\rho_ш}.\] Плотность пены равна отношению массы всего содержимого к объёму пены: \[\rho = \frac{3m}{V_в + V_ш} = \frac{3\rho_в\rho_ш}{\rho_ш + 2\rho_в} \approx 3{,}9~\text{кг/м}^3.\] Объёмная доля шампуня в пене равна отношению объёма шампуня к объёму пены: \[\varphi = \frac{V_ш}{V_в + V_ш} = \frac{2\rho_в}{\rho_ш + 2\rho_в} \approx 0{,}0023.\]

Найдите, в какой момент первый грузовик разворачивается в городе B и где в этот момент находится третий грузовик. Затем рассмотрите встречное движение двух грузовиков.

\(t \approx 0{,}79\) ч (около 47 минут).

Первый грузовик доедет до города B за время \(t_1 = S/v = 2{,}5\) ч. К этому моменту третий грузовик уже выехал из города A (через \(2\,\Delta t = 2\) ч после первого) и проехал \(v(t_1 - 2\,\Delta t) = 20\) км. Расстояние между первым грузовиком (в городе B) и третьим равно \(S - 20 = 80\) км. Они движутся навстречу друг другу со скоростями \(v\) и \(kv\), поэтому встреча произойдёт через \[t_{встр} = \frac{2\,\Delta t\, v}{v + kv} = \frac{2\,\Delta t}{1 + k} \approx 0{,}77~\text{ч}\] после разворота. Оставшийся путь первого грузовика до города A равен \(S - kv\,t_{встр}\), и время его движения \[t = \frac{S}{kv} - \frac{2\,\Delta t}{1 + k} = \frac{100}{64} - 0{,}77 \approx 0{,}79~\text{ч}.\]

Путь на каждом часовом интервале равен площади под графиком скорости. Найдите полный путь и полное время, а затем рассмотрите первую треть каждого из них.

1) \(v_{ср} \approx 17{,}8\) км/ч;  2) \(v_{ср} \approx 14{,}0\) км/ч.

Полное время движения составляет 5 ч, за каждый из этих часов скорость своя. По графику полный путь \[S = (10 + 20 + 40 + 30 + 20)\text{ км} = 120~\text{км}.\] Первая треть пути составляет \(40\) км. За первые 2 ч автомобиль проезжает \(10 + 20 = 30\) км, оставшиеся \(10\) км он проезжает со скоростью \(40\) км/ч за \(0{,}25\) ч. Поэтому \[v_{ср,\,1} = \frac{40}{2{,}25} \approx 17{,}8~\text{км/ч}.\] Первая треть полного времени составляет \(5/3 \approx 1{,}67\) ч. За это время автомобиль проходит \(1 \cdot 10 + 0{,}67 \cdot 20 \approx 23{,}4\) км, поэтому \[v_{ср,\,2} = \frac{23{,}4}{1{,}67} \approx 14{,}0~\text{км/ч}.\]

За время между событиями Медуза должна обогнать Горгону на полоборота. Сравните число оборотов каждой планеты за одно и то же время.

Через \(4{,}5\) горгонианского года, что соответствует \(5\) медузианским годам.

Пусть между рассматриваемыми событиями прошло время \(t = kT_Г\), т.е. \(k\) годов Горгоны. За это время Горгона совершит \(k\) оборотов вокруг звезды. Поскольку год Медузы меньше года Горгоны, Медуза обгоняет Горгону и за это время должна совершить на полоборота больше, чем Горгона. Число оборотов Медузы равно \(t/T_М = k/0{,}9\), поэтому \[\frac{k}{0{,}9} = k + \frac{1}{2}.\] Отсюда \(k = 4{,}5\). Следовательно, первое противостояние произойдёт через \(4{,}5\) года Горгоны, что составляет \[\frac{t}{T_М} = \frac{4{,}5\,T_Г}{0{,}9\,T_Г} = 5\] годов Медузы.

Учтите, что у новой пружины не только другая жёсткость, но и другая недеформированная длина. Запишите закон Гука для каждого груза и исключите неизвестные величины.

\(F_0 = 0{,}5\) Н.

Шкала динамометра рассчитана на старую пружину. Если бы недеформированные длины пружин совпадали, то нулевой массе новой пружины соответствовала бы нулевая сила, поэтому различаются и жёсткости, и недеформированные длины.

Для правильной (старой) пружины жёсткости \(k\) с недеформированной длиной \(l_0\) сила связана с длиной \(l\) соотношением \(F = k(l - l_0)\). Пусть новая пружина имеет жёсткость \(k_1\) и недеформированную длину, отличающуюся от \(l_0\) на \(\Delta l\). Тогда при подвешенном грузе массой \(m_i\) её растяжение даёт по шкале динамометра показание \[F_i = k\left(\Delta l + \frac{m_i g}{k_1}\right), \qquad i = 1, 2.\] Вычитая эти равенства, находим \[\frac{k g}{k_1} = \frac{F_2 - F_1}{m_2 - m_1}.\] Показание при нулевой массе \(F_0 = k\,\Delta l\), поэтому \[F_0 = F_1 - \frac{m_1 (F_2 - F_1)}{m_2 - m_1} = \frac{m_2 F_1 - m_1 F_2}{m_2 - m_1} = \frac{0{,}3 \cdot 2{,}5 - 0{,}2 \cdot 3{,}5}{0{,}1}~\text{Н} = 0{,}5~\text{Н}.\]