Росатом, 2023/24, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Сравните токи через вольтметры: какой из них включён последовательно с первым амперметром, а какой параллельно второму амперметру? Сопротивления приборов одинаковы.

Ответ

1) \(I_2 = \dfrac{U_2 - U_1}{U_2}\,I_1 = 1{,}375\) мА; 2) \(U_0 = \dfrac{U_1 U_2}{U_2 - U_1} + U_1 + U_2 = 2{,}82\) В.

Решение

Ток через вольтметр, включённый последовательно с амперметром, больше тока через вольтметр, включённый параллельно второму амперметру. Поэтому показание \(U_1 = 0{,}2\) В относится ко второму вольтметру, а \(U_2 = 2{,}4\) В — к первому.

Пусть сопротивление амперметров — \(r_A\), вольтметров — \(r_V\). Первый вольтметр показывает напряжение на самом себе, и через него течёт ток первого амперметра: \[r_V = \frac{U_2}{I_1}.\] Так как сопротивления вольтметров одинаковы, ток через второй вольтметр в \(U_1/U_2\) раз меньше тока через первый. Поэтому ток через второй амперметр \[I_2 = I_1 - \frac{U_1}{U_2}I_1 = \frac{U_2 - U_1}{U_2}\,I_1 = 1{,}375~\text{мА}.\] Отношение токов на параллельном участке обратно отношению сопротивлений: \(\dfrac{r_A}{r_V} = \dfrac{U_1}{U_2 - U_1}\), откуда \[r_A = \frac{U_1 U_2}{(U_2 - U_1) I_1}.\] Напряжение источника равно сумме напряжений на первом амперметре, первом вольтметре и на параллельном участке (второй амперметр и второй вольтметр): \[U_0 = \frac{U_1 U_2}{U_2 - U_1} + U_1 + U_2 = 2{,}82~\text{В}.\]

Подсказка

Сразу после перерезания сила, которую создавала пружина, исчезает, а остальные силы в первый момент остаются прежними. Что тогда даёт равнодействующую?

Ответ

1) \(a_в = 2g\), направлено вертикально вниз;

2) \(a_н = \dfrac{g}{2\sin\alpha}\), направлено противоположно перерезанной пружине (под углом \(\alpha\) к горизонту вверх).

Решение

Условие равновесия груза: \(mg + 2F_1\sin\alpha = 2mg\), где \(F_1\) — сила натяжения нижних пружин (на рисунке пружины для наглядности не показаны). Отсюда \[F_1 = \frac{mg}{2\sin\alpha}.\]

Сразу после перерезания верхней пружины её сила исчезает, а силы со стороны земли и нижних пружин в первый момент не меняются, поскольку для изменения силы упругости нужно изменить деформацию, а для этого груз должен сместиться. Так как до перерезания сумма всех сил была равна нулю, то после перерезания на груз действует сила \(2mg\), направленная вертикально вниз. Поэтому \[a_в = 2g.\]

Восстановим верхнюю пружину и перережем одну из нижних. Сумма сил тяжести, верхней и второй боковой пружины направлена противоположно силе упругости перерезанной пружины и равна ей по величине, \(F_1\). Из второго закона Ньютона \[a_н = \frac{F_1}{m} = \frac{g}{2\sin\alpha}.\] Вектор \(\vec a_н\) направлен противоположно перерезанной пружине, т.е. под углом \(\alpha\) к горизонту вверх.

Подсказка

Соедините точки А и В гладкой наклонной плоскостью и замкните верёвку: её равновесие не изменится. Какая часть верёвки лежит на плоскости и что её удерживает?

Ответ

\(T_B = T_A + \dfrac{mgh}{l}\).

Решение

Соединим точки А и В гладкой наклонной плоскостью и замкнём верёвку, так что часть длиной, равной длине плоскости, лежит на ней. Такая верёвка будет в равновесии (иначе был бы вечный двигатель). Висящая между А и В часть верёвки тоже находится в равновесии, и её положение не изменилось: если закрепить концы в точках А и В и отрезать часть, лежащую на плоскости, получим исходную верёвку.

Силы натяжения в точках А и В уравновешивают висящую часть, а разность этих сил уравновешивает часть верёвки на плоскости: \[m_1 g\sin\alpha = T_B - T_A,\] где \(m_1\) — масса части верёвки на плоскости. Так как верёвка однородна, \(m_1 = \dfrac{L}{l}\,m\), где \(L\) — длина наклонной плоскости. Синус угла наклона \(\sin\alpha = \dfrac{h}{L}\). В результате \[T_B = T_A + \frac{mgh}{l}.\]

Подсказка

Сначала проверьте, растаял ли весь лёд: сравните понижение уровня, которое получилось бы при полном таянии, с данным в условии. Если лёд остался, то температура в сосуде равна \(0\,^\circ\)C.

Ответ

\(t = \dfrac{\lambda}{c}\,\dfrac{\Delta h}{H}\,\dfrac{\rho_0 + \rho_1}{\rho_0 - \rho_1}\); численно по официальному решению \(t \approx 33{,}9\,^\circ\)C.

Решение

Сначала выясним, растаял ли весь лёд. Пусть масса горячей воды равна массе льда \(m\). Для объёма содержимого сосуда \[SH = \frac{m}{\rho_0} + \frac{m}{\rho_1},\] где \(S\) — площадь дна сосуда. Если растает весь лёд, в сосуде останется только вода массой \(2m\), и её уровень станет \(H - \Delta H\): \[S(H - \Delta H) = \frac{2m}{\rho_0}.\] Вычитая, получаем \(S\,\Delta H = m\left(\dfrac{1}{\rho_1} - \dfrac{1}{\rho_0}\right)\), откуда \[\Delta H = \frac{\rho_0 - \rho_1}{\rho_0 + \rho_1}\,H = \frac{H}{19} \approx 1{,}05~\text{см}.\] Уровень понизился на \(\Delta h = 0{,}5\) см, меньше \(1{,}05\) см. Значит, весь лёд не растаял: в сосуде есть лёд и вода при температуре \(t_0 = 0\,^\circ\)C.

Уравнение теплового баланса для горячей воды, охлаждающейся до \(0\,^\circ\)C, и растаявшей массы льда \(\Delta m\): \[c\,m\,t = \lambda\,\Delta m.\] Понижение уровня связано с растаявшим льдом: \[S\,\Delta h = \Delta m\left(\frac{1}{\rho_1} - \frac{1}{\rho_0}\right) \quad\Rightarrow\quad \Delta m = \frac{S\,\Delta h\,\rho_0\rho_1}{\rho_0 - \rho_1}.\] Масса горячей воды \(m = \dfrac{SH\rho_0\rho_1}{\rho_0 + \rho_1}\). В результате \[t = \frac{\lambda}{c}\,\frac{\Delta h}{H}\,\frac{\rho_0 + \rho_1}{\rho_0 - \rho_1}.\]

Подсказка

Рассмотрите области, из которых лиса успевает добежать до суслика в каждой точке его пути. Каждая такая область — круг. Как связан радиус круга с расстоянием от точки до норки А?

Ответ

\(S = \dfrac{2\sqrt{2}\,d^2}{9} + \left(\pi - \arcsin\dfrac{1}{3}\right)\dfrac{d^2}{9}\).

Решение

Будем строить область, из которой лиса может догнать суслика, обратным образом. Пусть суслик бежит из норки А в норку В, а из каждой точки его траектории во все стороны бегут лисы. Если лисы бегут в течение того времени, которое суслик бежал до рассматриваемой точки из норки А, то их расположение определит границы области, из которой лиса сможет поймать суслика в этой точке. Объединение таких областей по всем точкам траектории и даст всю область.

Все такие области — окружности, радиус которых в 3 раза меньше расстояния от соответствующей точки траектории до точки А. Касательные ко всем этим окружностям образуют один и тот же угол с отрезком АВ: прямоугольные треугольники, образованные радиусами в точки касания, подобны, так как у всех у них катет в 3 раза меньше гипотенузы, т.е. \(\sin\angle BAP = \sin\angle BAQ = \dfrac{1}{3}\).

Область ограничена отрезками \(AP\) и \(AQ\) касательных и сектором окружности \(PBQZ\) радиуса \(d/3\) с центром в точке В. Площадь области — сумма площадей треугольников \(ABP\) и \(ABQ\) и сектора \(PBQZ\). Треугольники прямоугольные с гипотенузой \(d\) и катетом \(d/3\), поэтому второй катет равен \(\dfrac{2\sqrt{2}\,d}{3}\), а площадь каждого \[S_{ABP} = S_{ABQ} = \frac{\sqrt{2}\,d^2}{9}.\] Площадь сектора, по официальному решению, \[S_{PBQZ} = \left(\pi - \arcsin\frac{1}{3}\right)\frac{d^2}{9}.\] Итоговая площадь области \[S = 2S_{ABP} + S_{PBQZ} = \frac{2\sqrt{2}\,d^2}{9} + \left(\pi - \arcsin\frac{1}{3}\right)\frac{d^2}{9}.\]