Росатом, 2024/25, отборочный этап, 7 класс

Выразите массу листа через поверхностную и через объёмную плотность.

\(d = \dfrac{\sigma}{\rho} = 0{,}1\) мм.

Поверхностная плотность — отношение массы листа к его площади: \(\sigma = \dfrac{m}{S}\). Объёмная плотность — отношение массы к объёму: \(\rho = \dfrac{m}{V}\), где \(V = Sd\). Тогда \(m = \rho S d\) и \(\sigma = \rho d\), откуда \[d = \frac{\sigma}{\rho} = \frac{0{,}08~\text{кг/м}^2}{800~\text{кг/м}^3} = 10^{-4}~\text{м} = 0{,}1~\text{мм}.\]

Сравните время движения каждой машины от А до В.

\(\Delta t = \dfrac{l}{6\,v_1}\).

За время \(\Delta t\) первая машина проехала расстояние \(S = v_1 \Delta t\). Далее обе машины были на трассе, и первая должна была проехать до города В расстояние \(l - v_1\Delta t\). Вторая машина ехала всё расстояние \(l\). Поскольку машины приехали одновременно, то \[\frac{l}{v_1} = \Delta t + \frac{l}{1{,}2\,v_1} \quad\Rightarrow\quad \Delta t = \frac{l}{v_1}\left(1 - \frac{1}{1{,}2}\right) = \frac{l}{6\,v_1}.\]

Запишите среднюю плотность раствора как отношение суммы масс к сумме объёмов.

\(C = \dfrac{1}{3} \approx 33\%\).

Пусть \(m\) — масса кислоты, \(M\) — масса воды. Плотность кислоты \(\rho_к = 2\rho_в\), объём кислоты \(m/(2\rho_в)\), объём воды \(M/\rho_в\). Плотность раствора \[\rho = \frac{m + M}{\dfrac{m}{2\rho_в} + \dfrac{M}{\rho_в}}.\] Подставляя \(\rho = 1{,}2\) г/см\(^3\) и \(\rho_в = 1\) г/см\(^3\), получаем \(1{,}2\left(\dfrac{m}{2} + M\right) = m + M\), т.е. \(0{,}2\,M = 0{,}4\,m\) и \(M = 2m\). Массовая концентрация кислоты \[C = \frac{m}{m + M} = \frac{m}{3m} = \frac{1}{3} \approx 33\%.\]

Найдите, на сколько каждый из блоков сдвинется за малое время \(\Delta t\), и сравните, сколько верёвки нужно «добавить» и сколько «освободить» на каждом участке.

\(v_{\text{гр}} = 4v\).

Пусть в некоторый момент блоки занимают положение, показанное на рисунке. За малое время \(\Delta t\) три подвижных блока, которые тянут, переместятся на расстояния \(v\Delta t\) (налево), \(2v\Delta t\) (налево) и \(3v\Delta t\) (вверх на рисунке). Значит, верёвка справа от двух подвижных блоков должна укоротиться на \(2v\Delta t\), слева — удлиниться на \(4v\Delta t\), сверху — удлиниться на \(6v\Delta t\). Поэтому потребуется «лишняя» верёвка длиной \[6v\Delta t + 4v\Delta t - 2v\Delta t = 8v\Delta t,\] которая может взяться только из нижней петли, охватывающей блок с грузом. Значит, этот блок (а вместе с ним и груз) поднимется вверх на \(4v\Delta t\), чтобы освободить кусок верёвки, необходимый для перемещения остальных блоков. За время \(\Delta t\) груз переместился на расстояние \(4v\Delta t\), значит, его скорость равна \(4v\).

Расстояние между столбами одно и то же во всех случаях; выразите его через скорости и время.

\(t_2 = \dfrac{28}{9} \approx 3{,}1\) с.

Пусть расстояние между столбами равно \(l\), а скорость машины в первом случае — \(v\). Тогда \[\Delta t = \frac{l}{v}.\] После того как машина увеличила скорость на \(\Delta v\), аналогично \(\Delta t_1 = \dfrac{l}{v + \Delta v}\). Отсюда \[\Delta v = \frac{l}{\Delta t_1} - \frac{l}{\Delta t} = l\left(\frac{1}{3{,}5} - \frac{1}{4}\right) = \frac{l}{28}.\]

Скорость \(v = \dfrac{l}{4}\), после того как машина увеличила скорость на \(2\Delta v\) по сравнению с первым случаем, её скорость \(v + 2\Delta v = \dfrac{l}{4} + \dfrac{l}{14} = \dfrac{9l}{28}\). Тогда время между двумя столбами \[t_2 = \frac{l}{v + 2\Delta v} = \frac{28}{9}~\text{с} \approx 3{,}1~\text{с}.\]